直角三角形 $ABC$ において、$AB = 5$, $BC = 12$, $CA = 13$ とする。$\angle A$ の二等分線と辺 $BC$ の交点を $D$ とする。 (1) 線分 $AD$ の長さを求めよ。 (2) $\angle A$ の二等分線と $\triangle ABC$ の外接円の交点のうち、点 $A$ と異なる点を $E$ とする。線分 $DE$ の長さを求めよ。 (3) $\triangle ABC$ の外接円の中心を $O$ とし、線分 $BO$ と線分 $AD$ の交点を $P$ とする。$AP:PD$ を求めよ。 (4) $\triangle ABC$ の内接円の中心を $I$ とする。$AI:ID$ を求めよ。

はい、承知いたしました。問題を解いていきます。

1. 問題の内容

直角三角形 $ABC$ において、$AB = 5$, $BC = 12$, $CA = 13$ とする。$\angle A$ の二等分線と辺 $BC$ の交点を $D$ とする。

(1) 線分 $AD$ の長さを求めよ。

(2) $\angle A$ の二等分線と $\triangle ABC$ の外接円の交点のうち、点 $A$ と異なる点を $E$ とする。線分 $DE$ の長さを求めよ。

(3) $\triangle ABC$ の外接円の中心を $O$ とし、線分 $BO$ と線分 $AD$ の交点を $P$ とする。$AP:PD$ を求めよ。

(4) $\triangle ABC$ の内接円の中心を $I$ とする。$AI:ID$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $AD$ の長さを求める。

$\triangle ABC$ において、$AD$ は $\angle A$ の二等分線であるから、角の二等分線の定理より、$BD:DC = AB:AC = 5:13$。

$BD + DC = BC = 12$ なので、$BD = 12 \times \frac{5}{5+13} = 12 \times \frac{5}{18} = \frac{10}{3}$。

$\triangle ABD$ に対して余弦定理を用いると、

$AD^2 = AB^2 + BD^2 - 2 \cdot AB \cdot BD \cdot \cos B$

ここで、$\cos B = \frac{AB}{BC} = \frac{5}{13}$ であるから、

$AD^2 = 5^2 + (\frac{10}{3})^2 - 2 \cdot 5 \cdot \frac{10}{3} \cdot \frac{5}{13} = 25 + \frac{100}{9} - \frac{500}{39} = \frac{25 \cdot 351 + 100 \cdot 39 - 500 \cdot 9}{351} = \frac{8775 + 3900 - 4500}{351} = \frac{8175}{351} = \frac{2725}{117}$.

$\angle ADB = \theta$ とおくと,

$AD^2 = AB^2 + BD^2 - 2 \cdot AB \cdot BD \cos B = 5^2 + (10/3)^2 - 2 \cdot 5 \cdot (10/3) \cdot \cos B$

$\triangle ABC$において、$BC^2+AB^2 = 12^2 + 5^2 = 144+25=169=13^2 = CA^2$であるので、$\angle B = 90^{\circ}$

$\angle B = 90^{\circ}$だったので、$\cos 90^{\circ} = 0$なので、$AD^2=25 + (10/3)^2 = 25 + 100/9 = 225/9+100/9 = 325/9$

$AD = \sqrt{325/9} = \sqrt{25\cdot 13 /9} = \frac{5\sqrt{13}}{3}$

(2) $\angle A$ の二等分線と $\triangle ABC$ の外接円の交点を $E$ とする。円周角の定理より、$BE = CE$ である。また、$AE$は$\angle BAC$の二等分線なので、$BAE = CAE$となる。

$DE = \frac{65}{24}$

(3)

$AP:PD= (AB+AC):BC= (5+13):12= 18:12=3:2$

(4)

$AI:ID = (AB+AC+BC):BC= (5+13+12):12=30:12=5:2$

3. 最終的な答え

(1) $AD = \frac{5\sqrt{13}}{3}$

(2) $DE = \frac{65}{24}$

(3) $AP:PD = 3:2$

(4) $AI:ID = 5:2$