与えられた複素数に対して、それぞれの共役複素数を求めます。

はい、承知いたしました。画像の問題を解いていきます。

**問題3**

1. 問題の内容

与えられた複素数に対して、それぞれの共役複素数を求めます。

2. 解き方の手順

複素数 $a + bi$ の共役複素数は $a - bi$ で与えられます。つまり、虚部(iの係数)の符号を反転させることで得られます。実数の共役複素数は元の実数そのものです。

(1) $1 + 3i$ の共役複素数: $1 - 3i$

(2) $3 - \sqrt{5}i$ の共役複素数: $3 + \sqrt{5}i$

(3) $6i$ の共役複素数: $-6i$

(4) $5$ の共役複素数: $5$

3. 最終的な答え

(1) 共役複素数: $1 - 3i$

(2) 共役複素数: $3 + \sqrt{5}i$

(3) 共役複素数: $-6i$

(4) 共役複素数: $5$

**問題4**

1. 問題の内容

与えられた等式を満たす実数 $a, b$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

(1) $(a+2b) + (b-3)i = 0$

複素数が0になるためには、実部と虚部がともに0である必要があります。

したがって、次の連立方程式が成り立ちます。

$a + 2b = 0$

$b - 3 = 0$

2番目の式から、$b = 3$ が得られます。

これを1番目の式に代入すると、$a + 2(3) = 0$、つまり $a + 6 = 0$ となり、$a = -6$ が得られます。

(2) $(4a+3b) - (3a-b)i = -1 - 9i$

複素数の等式より、実部と虚部がそれぞれ等しくなるはずです。

したがって、次の連立方程式が成り立ちます。

$4a + 3b = -1$

$-(3a - b) = -9$

2番目の式を整理すると、$3a - b = 9$となります。

連立方程式は次のようになります。

$4a + 3b = -1$

$3a - b = 9$

2番目の式を3倍すると、$9a - 3b = 27$ となります。

これを1番目の式に足し合わせると、$13a = 26$ となり、$a = 2$ が得られます。

$a = 2$ を $3a - b = 9$ に代入すると、$3(2) - b = 9$、つまり $6 - b = 9$ となり、$b = -3$ が得られます。

3. 最終的な答え

(1) $a = -6, b = 3$

(2) $a = 2, b = -3$