与えられた式 $(2a+1)^4$ と $(x+2y)^5$ を展開する。

1. 問題の内容

与えられた式 $(2a+1)^4$ と $(x+2y)^5$ を展開する。

2. 解き方の手順

(5) $(2a+1)^4$ の展開

二項定理を用いる。二項定理は $(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k$ で表される。

$(2a+1)^4 = \binom{4}{0} (2a)^4 (1)^0 + \binom{4}{1} (2a)^3 (1)^1 + \binom{4}{2} (2a)^2 (1)^2 + \binom{4}{3} (2a)^1 (1)^3 + \binom{4}{4} (2a)^0 (1)^4$

$\binom{4}{0} = 1$

$\binom{4}{1} = 4$

$\binom{4}{2} = \frac{4!}{2!2!} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$

$\binom{4}{3} = 4$

$\binom{4}{4} = 1$

$(2a+1)^4 = 1 \times (16a^4) \times 1 + 4 \times (8a^3) \times 1 + 6 \times (4a^2) \times 1 + 4 \times (2a) \times 1 + 1 \times 1 \times 1$

$= 16a^4 + 32a^3 + 24a^2 + 8a + 1$

(6) $(x+2y)^5$ の展開

二項定理を用いる。

$(x+2y)^5 = \binom{5}{0} x^5 (2y)^0 + \binom{5}{1} x^4 (2y)^1 + \binom{5}{2} x^3 (2y)^2 + \binom{5}{3} x^2 (2y)^3 + \binom{5}{4} x^1 (2y)^4 + \binom{5}{5} x^0 (2y)^5$

$\binom{5}{0} = 1$

$\binom{5}{1} = 5$

$\binom{5}{2} = \frac{5!}{2!3!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$

$\binom{5}{3} = 10$

$\binom{5}{4} = 5$

$\binom{5}{5} = 1$

$(x+2y)^5 = 1 \times x^5 \times 1 + 5 \times x^4 \times 2y + 10 \times x^3 \times (4y^2) + 10 \times x^2 \times (8y^3) + 5 \times x \times (16y^4) + 1 \times 1 \times (32y^5)$

$= x^5 + 10x^4y + 40x^3y^2 + 80x^2y^3 + 80xy^4 + 32y^5$

3. 最終的な答え

(5) $(2a+1)^4 = 16a^4 + 32a^3 + 24a^2 + 8a + 1$

(6) $(x+2y)^5 = x^5 + 10x^4y + 40x^3y^2 + 80x^2y^3 + 80xy^4 + 32y^5$