(9) $(2x-3)^6$ を展開したときの $x^3$ の係数を求めよ。 (10) $(2a-b+c)^7$ を展開したときの $b^4c^3$ の係数を求めよ。

1. 問題の内容

(9) $(2x-3)^6$ を展開したときの $x^3$ の係数を求めよ。

(10) $(2a-b+c)^7$ を展開したときの $b^4c^3$ の係数を求めよ。

2. 解き方の手順

(9) 二項定理を用いる。$(2x-3)^6$ の展開における一般項は

$${}_6 C_k (2x)^{6-k} (-3)^k$$

ここで、$x^3$ の係数を求めるためには $6-k=3$ 、つまり $k=3$ である必要がある。したがって、$x^3$ の係数は

$${}_6 C_3 (2)^3 (-3)^3 = \frac{6!}{3!3!} \cdot 8 \cdot (-27) = \frac{6\times 5 \times 4}{3\times 2\times 1} \cdot 8 \cdot (-27) = 20 \cdot 8 \cdot (-27) = -4320$$

(10) 多項定理を用いる。$(2a-b+c)^7$ の展開における一般項は

$$\frac{7!}{p!q!r!} (2a)^p (-b)^q (c)^r$$

ただし、$p+q+r=7$。$b^4 c^3$ の係数を求めるためには $q=4$ かつ $r=3$ である必要がある。したがって、$p=7-4-3=0$ となる。

よって、$b^4 c^3$ の係数は

$$\frac{7!}{0!4!3!} (2a)^0 (-b)^4 (c)^3 = \frac{7!}{4!3!} \cdot 1 \cdot b^4 c^3 = \frac{7\times 6 \times 5}{3\times 2\times 1} b^4 c^3 = 35 b^4 c^3$$

したがって、係数は 35 となる。

3. 最終的な答え

(9) $x^3$ の係数は -4320

(10) $b^4 c^3$ の係数は 35