次の逆三角関数の値を求めよ。 (1) $\sin^{-1}(-\frac{1}{\sqrt{2}})$ (2) $\cos^{-1}(-\frac{1}{\sqrt{2}})$ (3) $\tan^{-1}(\frac{1}{\sqrt{3}})$ (4) $\sec^{-1}(\sqrt{2})$

1. 問題の内容

次の逆三角関数の値を求めよ。

(1) $\sin^{-1}(-\frac{1}{\sqrt{2}})$

(2) $\cos^{-1}(-\frac{1}{\sqrt{2}})$

(3) $\tan^{-1}(\frac{1}{\sqrt{3}})$

(4) $\sec^{-1}(\sqrt{2})$

2. 解き方の手順

(1) $\sin^{-1}(-\frac{1}{\sqrt{2}})$:

$\sin \theta = -\frac{1}{\sqrt{2}}$となる$\theta$を求める。

$\sin(-\frac{\pi}{4}) = -\frac{1}{\sqrt{2}}$

$\sin^{-1}(x)$ の値域は $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$であるため、$\theta = -\frac{\pi}{4}$

(2) $\cos^{-1}(-\frac{1}{\sqrt{2}})$:

$\cos \theta = -\frac{1}{\sqrt{2}}$となる$\theta$を求める。

$\cos(\frac{3\pi}{4}) = -\frac{1}{\sqrt{2}}$

$\cos^{-1}(x)$ の値域は $[0, \pi]$であるため、$\theta = \frac{3\pi}{4}$

(3) $\tan^{-1}(\frac{1}{\sqrt{3}})$:

$\tan \theta = \frac{1}{\sqrt{3}}$となる$\theta$を求める。

$\tan(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{\sqrt{3}}$

$\tan^{-1}(x)$ の値域は $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$であるため、$\theta = \frac{\pi}{6}$

(4) $\sec^{-1}(\sqrt{2})$:

$\sec \theta = \sqrt{2}$となる$\theta$を求める。

$\sec \theta = \frac{1}{\cos \theta} = \sqrt{2}$より、$\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$となる$\theta$を求める。

$\cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$

$\sec^{-1}(x)$の値域は $[0, \pi]$, $x \neq \frac{\pi}{2}$であるため、$\theta = \frac{\pi}{4}$

3. 最終的な答え

(1) $-\frac{\pi}{4}$

(2) $\frac{3\pi}{4}$

(3) $\frac{\pi}{6}$

(4) $\frac{\pi}{4}$