次の3つの不定積分を求めます。 (i) $\int 4x^3 e^{x^4} dx$ (ii) $\int (2x+1) e^{x^2+x} dx$ (iii) $\int \frac{x^2}{\sqrt{x^3+1}} dx$

1. 問題の内容

次の3つの不定積分を求めます。

(i) $\int 4x^3 e^{x^4} dx$

(ii) $\int (2x+1) e^{x^2+x} dx$

(iii) $\int \frac{x^2}{\sqrt{x^3+1}} dx$

2. 解き方の手順

(i) $\int 4x^3 e^{x^4} dx$

$u = x^4$ と置換すると、$\frac{du}{dx} = 4x^3$ となります。したがって、$du = 4x^3 dx$ です。

よって、

$\int 4x^3 e^{x^4} dx = \int e^u du = e^u + C = e^{x^4} + C$

(ii) $\int (2x+1) e^{x^2+x} dx$

$u = x^2 + x$ と置換すると、$\frac{du}{dx} = 2x + 1$ となります。したがって、$du = (2x+1) dx$ です。

よって、

$\int (2x+1) e^{x^2+x} dx = \int e^u du = e^u + C = e^{x^2+x} + C$

(iii) $\int \frac{x^2}{\sqrt{x^3+1}} dx$

$u = x^3 + 1$ と置換すると、$\frac{du}{dx} = 3x^2$ となります。したがって、$du = 3x^2 dx$ であり、$x^2 dx = \frac{1}{3} du$ です。

よって、

$\int \frac{x^2}{\sqrt{x^3+1}} dx = \int \frac{1}{\sqrt{u}} \frac{1}{3} du = \frac{1}{3} \int u^{-1/2} du = \frac{1}{3} \frac{u^{1/2}}{1/2} + C = \frac{2}{3} u^{1/2} + C = \frac{2}{3} \sqrt{x^3+1} + C$

3. 最終的な答え

(i) $\int 4x^3 e^{x^4} dx = e^{x^4} + C$

(ii) $\int (2x+1) e^{x^2+x} dx = e^{x^2+x} + C$

(iii) $\int \frac{x^2}{\sqrt{x^3+1}} dx = \frac{2}{3} \sqrt{x^3+1} + C$