関数 $y = (x - 1)\sqrt{x}$ を微分し、$dy/dx$ を求める。ただし、$x > 0$ とする。

1. 問題の内容

関数 $y = (x - 1)\sqrt{x}$ を微分し、$dy/dx$ を求める。ただし、$x > 0$ とする。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数を $x$ のべきの形で書き換えます。

$y = (x - 1)\sqrt{x} = (x - 1)x^{1/2} = x^{3/2} - x^{1/2}$.

次に、この関数を $x$ で微分します。

べき乗の微分公式 $d(x^n)/dx = nx^{n-1}$ を用いると、

$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(x^{3/2} - x^{1/2}) = \frac{d}{dx}(x^{3/2}) - \frac{d}{dx}(x^{1/2})$

$= \frac{3}{2}x^{(3/2) - 1} - \frac{1}{2}x^{(1/2) - 1}$

$= \frac{3}{2}x^{1/2} - \frac{1}{2}x^{-1/2}$

$= \frac{3}{2}\sqrt{x} - \frac{1}{2\sqrt{x}}$.

通分して整理すると、

$\frac{dy}{dx} = \frac{3x - 1}{2\sqrt{x}}$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = \frac{3x - 1}{2\sqrt{x}}$