画像に記載された積分の問題のうち、問題5を解きます。問題5は、以下の不等式を示す問題です。 $1 \le \int_0^1 \sqrt{1+x^2} dx \le \sqrt{2}$

1. 問題の内容

画像に記載された積分の問題のうち、問題5を解きます。問題5は、以下の不等式を示す問題です。

$1 \le \int_0^1 \sqrt{1+x^2} dx \le \sqrt{2}$

2. 解き方の手順

まず、積分 $\int_0^1 \sqrt{1+x^2} dx$ の値を評価します。

$\sqrt{1+x^2}$ の範囲を考えます。$0 \le x \le 1$ の範囲において、$1 \le \sqrt{1+x^2} \le \sqrt{2}$ が成り立ちます。

$1 \le \sqrt{1+x^2}$ より、積分に関して

$\int_0^1 1 dx \le \int_0^1 \sqrt{1+x^2} dx$

$\int_0^1 1 dx = [x]_0^1 = 1$

よって、

$1 \le \int_0^1 \sqrt{1+x^2} dx$ が成り立ちます。

$\sqrt{1+x^2} \le \sqrt{2}$ より、積分に関して

$\int_0^1 \sqrt{1+x^2} dx \le \int_0^1 \sqrt{2} dx$

$\int_0^1 \sqrt{2} dx = [\sqrt{2}x]_0^1 = \sqrt{2}$

よって、

$\int_0^1 \sqrt{1+x^2} dx \le \sqrt{2}$ が成り立ちます。

以上の議論から、$1 \le \int_0^1 \sqrt{1+x^2} dx \le \sqrt{2}$ が示されました。

3. 最終的な答え

$1 \le \int_0^1 \sqrt{1+x^2} dx \le \sqrt{2}$