与えられた数式の展開または整理の問題です。具体的には以下の3つの問題があります。 (3) $(x-y+2)^2$ (5) $(x+3y)^2(x-3y)^2$ (6) $(a^2-a+1)(a^2-a+3)$

1. 問題の内容

与えられた数式の展開または整理の問題です。具体的には以下の3つの問題があります。

(3) $(x-y+2)^2$

(5) $(x+3y)^2(x-3y)^2$

(6) $(a^2-a+1)(a^2-a+3)$

2. 解き方の手順

(3) $(x-y+2)^2$ を展開します。これは、$(A+B)^2 = A^2 + 2AB + B^2$ の公式を利用します。$A = x-y$ とおくと、$B=2$ となります。

まず、$A^2 = (x-y)^2 = x^2 -2xy + y^2$

次に、$2AB = 2(x-y)(2) = 4(x-y) = 4x - 4y$

そして、$B^2 = 2^2 = 4$

したがって、$(x-y+2)^2 = x^2 - 2xy + y^2 + 4x - 4y + 4$

(5) $(x+3y)^2(x-3y)^2$ を展開します。これは、$(A^2)(B^2) = (AB)^2$ を利用します。

$(x+3y)(x-3y) = x^2 - (3y)^2 = x^2 - 9y^2$

したがって、$(x+3y)^2(x-3y)^2 = (x^2 - 9y^2)^2 = (x^2)^2 - 2(x^2)(9y^2) + (9y^2)^2 = x^4 - 18x^2y^2 + 81y^4$

(6) $(a^2-a+1)(a^2-a+3)$ を展開します。これは、$A = a^2 - a$ とおくと、$(A+1)(A+3)$ となります。

$(A+1)(A+3) = A^2 + 4A + 3 = (a^2-a)^2 + 4(a^2-a) + 3$

$(a^2-a)^2 = (a^2)^2 - 2(a^2)(a) + a^2 = a^4 - 2a^3 + a^2$

$4(a^2-a) = 4a^2 - 4a$

したがって、$(a^2-a+1)(a^2-a+3) = a^4 - 2a^3 + a^2 + 4a^2 - 4a + 3 = a^4 - 2a^3 + 5a^2 - 4a + 3$

3. 最終的な答え

(3) $(x-y+2)^2 = x^2 - 2xy + y^2 + 4x - 4y + 4$

(5) $(x+3y)^2(x-3y)^2 = x^4 - 18x^2y^2 + 81y^4$

(6) $(a^2-a+1)(a^2-a+3) = a^4 - 2a^3 + 5a^2 - 4a + 3$