定積分 $\int_{0}^{\pi} \sin 2x \, dx$ を計算します。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{0}^{\pi} \sin 2x \, dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、$\sin 2x$ の不定積分を求めます。

$\sin ax$ の積分は $-\frac{1}{a}\cos ax$ ですから、

$\sin 2x$ の積分は $-\frac{1}{2}\cos 2x$ です。

したがって、

$$\int \sin 2x \, dx = -\frac{1}{2} \cos 2x + C$$

次に、定積分を計算します。

$$\int_{0}^{\pi} \sin 2x \, dx = \left[-\frac{1}{2} \cos 2x \right]_{0}^{\pi} = -\frac{1}{2} \cos 2\pi - \left(-\frac{1}{2} \cos 0 \right) = -\frac{1}{2}(1) + \frac{1}{2}(1) = -\frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 0$$

3. 最終的な答え

$\int_{0}^{\pi} \sin 2x \, dx = 0$