2点 $A(-1, 2, 3)$ と $B(0, 4, 1)$ を通る直線 $l$ に対して、原点 $O$ から直線 $l$ に下ろした垂線 $OH$ の足 $H$ の座標を求める問題です。

1. 問題の内容

2点 $A(-1, 2, 3)$ と $B(0, 4, 1)$ を通る直線 $l$ に対して、原点 $O$ から直線 $l$ に下ろした垂線 $OH$ の足 $H$ の座標を求める問題です。

2. 解き方の手順

* **ステップ1: 直線 $l$ の方向ベクトルを求める**

直線 $l$ の方向ベクトル $\vec{v}$ は、$\vec{AB}$ で与えられます。

$\vec{v} = \vec{AB} = \vec{OB} - \vec{OA} = (0 - (-1), 4 - 2, 1 - 3) = (1, 2, -2)$

* **ステップ2: 直線 $l$ のパラメータ表示を求める**

点 $A(-1, 2, 3)$ を通り、方向ベクトル $\vec{v} = (1, 2, -2)$ を持つ直線のパラメータ表示は、パラメータ $t$ を用いて次のように表されます。

$\vec{OH} = \vec{OA} + t \vec{v} = (-1 + t, 2 + 2t, 3 - 2t)$

したがって、点 $H$ の座標は $H(-1 + t, 2 + 2t, 3 - 2t)$ となります。

* **ステップ3: $\vec{OH}$ と $\vec{v}$ が垂直である条件を用いる**

$\vec{OH}$ と $\vec{v}$ が垂直であるとき、$\vec{OH} \cdot \vec{v} = 0$ が成り立ちます。

$\vec{OH} \cdot \vec{v} = (-1 + t)(1) + (2 + 2t)(2) + (3 - 2t)(-2) = 0$

$-1 + t + 4 + 4t - 6 + 4t = 0$

$9t - 3 = 0$

$t = \frac{1}{3}$

* **ステップ4: 点 $H$ の座標を求める**

$t = \frac{1}{3}$ を点 $H$ の座標の式に代入します。

$H = (-1 + \frac{1}{3}, 2 + 2(\frac{1}{3}), 3 - 2(\frac{1}{3})) = (-\frac{2}{3}, \frac{8}{3}, \frac{7}{3})$

3. 最終的な答え

点 $H$ の座標は $(-\frac{2}{3}, \frac{8}{3}, \frac{7}{3})$ です。