$\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{\sin x}$ を計算します。

はい、承知いたしました。画像にある以下の２つの問題を解きます。

(2) $\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{\sin x}$

(3) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin^2 x}{1 - \cos x}$

**問題 (2) の解答**

1. 問題の内容

$\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{\sin x}$ を計算します。

2. 解き方の手順

$\frac{0}{0}$ の不定形なので、ロピタルの定理を使うか、三角関数の公式を使って変形します。ここでは三角関数の公式を使います。

$1 - \cos x = 2\sin^2 \frac{x}{2}$ と $\sin x = 2\sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}$ を用いると、

$\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{\sin x} = \lim_{x \to 0} \frac{2\sin^2 \frac{x}{2}}{2\sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin \frac{x}{2}}{\cos \frac{x}{2}} = \lim_{x \to 0} \tan \frac{x}{2}$

$x \to 0$ のとき $\frac{x}{2} \to 0$ なので、$\tan \frac{x}{2} \to 0$

3. 最終的な答え

$\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{\sin x} = 0$

**問題 (3) の解答**

1. 問題の内容

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin^2 x}{1 - \cos x}$ を計算します。

2. 解き方の手順

$\frac{0}{0}$ の不定形なので、ロピタルの定理を使うか、三角関数の公式を使って変形します。ここでは三角関数の公式を使います。

$1 - \cos x = 2\sin^2 \frac{x}{2}$ と $\sin x = 2\sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}$ を用いると、

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin^2 x}{1 - \cos x} = \lim_{x \to 0} \frac{(2\sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2})^2}{2\sin^2 \frac{x}{2}} = \lim_{x \to 0} \frac{4\sin^2 \frac{x}{2} \cos^2 \frac{x}{2}}{2\sin^2 \frac{x}{2}} = \lim_{x \to 0} 2\cos^2 \frac{x}{2}$

$x \to 0$ のとき $\frac{x}{2} \to 0$ なので、$\cos \frac{x}{2} \to 1$

したがって、$\lim_{x \to 0} 2\cos^2 \frac{x}{2} = 2 \cdot 1^2 = 2$

3. 最終的な答え

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin^2 x}{1 - \cos x} = 2$