与えられた関数の極限 $\lim_{x \to \infty} \frac{4x^3 + 3x^2 + 2}{2x^3 + 4x + 1}$ を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた関数の極限 $\lim_{x \to \infty} \frac{4x^3 + 3x^2 + 2}{2x^3 + 4x + 1}$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

$x$ が無限大に近づくときの有理関数の極限を求める場合、分子と分母を、最も高い次数の項で割るのが一般的な方法です。

今回は、分子と分母の両方を $x^3$ で割ります。

$\lim_{x \to \infty} \frac{4x^3 + 3x^2 + 2}{2x^3 + 4x + 1} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{4x^3}{x^3} + \frac{3x^2}{x^3} + \frac{2}{x^3}}{\frac{2x^3}{x^3} + \frac{4x}{x^3} + \frac{1}{x^3}} = \lim_{x \to \infty} \frac{4 + \frac{3}{x} + \frac{2}{x^3}}{2 + \frac{4}{x^2} + \frac{1}{x^3}}$

$x$ が無限大に近づくと、$\frac{3}{x}$, $\frac{2}{x^3}$, $\frac{4}{x^2}$, $\frac{1}{x^3}$ はすべて0に近づきます。

したがって、極限は次のようになります。

$\lim_{x \to \infty} \frac{4 + \frac{3}{x} + \frac{2}{x^3}}{2 + \frac{4}{x^2} + \frac{1}{x^3}} = \frac{4 + 0 + 0}{2 + 0 + 0} = \frac{4}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{4}{2} = 2$