ライプニッツの公式を用いて、以下の(1)から(3)の関数を微分する問題です。 (1) $y_1 = \frac{d^n}{dx^n}(x^2e^{-x})$ (2) $y_2 = \frac{d}{dx}(x^2\cos x)$ (3) $y_3 = \frac{d}{dx}((x^2+x)\sin x)$ ライプニッツの公式は以下の通りです。 $\frac{d^n}{dx^n}(f(x)g(x)) = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} f^{(k)}(x)g^{(n-k)}(x)$

1. 問題の内容

ライプニッツの公式を用いて、以下の(1)から(3)の関数を微分する問題です。

(1) $y_1 = \frac{d^n}{dx^n}(x^2e^{-x})$

(2) $y_2 = \frac{d}{dx}(x^2\cos x)$

(3) $y_3 = \frac{d}{dx}((x^2+x)\sin x)$

ライプニッツの公式は以下の通りです。

$\frac{d^n}{dx^n}(f(x)g(x)) = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} f^{(k)}(x)g^{(n-k)}(x)$

2. 解き方の手順

(1) $y_1 = \frac{d^n}{dx^n}(x^2e^{-x})$

$f(x) = x^2$, $g(x) = e^{-x}$ とおく。

$f'(x) = 2x$, $f''(x) = 2$, $f^{(k)}(x) = 0$ for $k \geq 3$.

$g'(x) = -e^{-x}$, $g''(x) = e^{-x}$, $g^{(n)}(x) = (-1)^n e^{-x}$.

ライプニッツの公式より、

$\frac{d^n}{dx^n}(x^2e^{-x}) = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} f^{(k)}(x)g^{(n-k)}(x)$

$= \binom{n}{0}f(x)g^{(n)}(x) + \binom{n}{1}f'(x)g^{(n-1)}(x) + \binom{n}{2}f''(x)g^{(n-2)}(x)$

$= \binom{n}{0}x^2(-1)^ne^{-x} + \binom{n}{1}2x(-1)^{n-1}e^{-x} + \binom{n}{2}2(-1)^{n-2}e^{-x}$

$= x^2(-1)^ne^{-x} + 2xn(-1)^{n-1}e^{-x} + n(n-1)(-1)^{n-2}e^{-x}$

$= (-1)^n e^{-x} (x^2 - 2nx + n(n-1))$

(2) $y_2 = \frac{d}{dx}(x^2\cos x)$

$f(x) = x^2$, $g(x) = \cos x$ とおく。

積の微分公式より、

$\frac{d}{dx}(x^2\cos x) = (x^2)'\cos x + x^2(\cos x)' = 2x\cos x - x^2\sin x$

(3) $y_3 = \frac{d}{dx}((x^2+x)\sin x)$

$f(x) = x^2+x$, $g(x) = \sin x$ とおく。

積の微分公式より、

$\frac{d}{dx}((x^2+x)\sin x) = (x^2+x)'\sin x + (x^2+x)(\sin x)' = (2x+1)\sin x + (x^2+x)\cos x$

3. 最終的な答え

(1) $y_1 = (-1)^n e^{-x} (x^2 - 2nx + n(n-1))$

(2) $y_2 = 2x\cos x - x^2\sin x$

(3) $y_3 = (2x+1)\sin x + (x^2+x)\cos x$