以下の関数の極限を求めます。 (1) $\lim_{x \to 2} (3x^2 + 5x - 5)$ (2) $\lim_{x \to 3} (x - 1)(x - 3)$ (3) $\lim_{x \to 1} \frac{x^2 + 3x - 4}{x^2 + x - 2}$ (4) $\lim_{x \to -2} \frac{x^2 + x - 2}{x^2 - 4}$ (5) $\lim_{x \to \infty} \frac{2x^2 + 1}{3x^2 + x + 2}$ (6) $\lim_{x \to \infty} \frac{2x - 1}{x^2 + 1}$ (7) $\lim_{x \to \infty} e^x$ (8) $\lim_{x \to \infty} \log x$

1. 問題の内容

以下の関数の極限を求めます。

(1) $\lim_{x \to 2} (3x^2 + 5x - 5)$

(2) $\lim_{x \to 3} (x - 1)(x - 3)$

(3) $\lim_{x \to 1} \frac{x^2 + 3x - 4}{x^2 + x - 2}$

(4) $\lim_{x \to -2} \frac{x^2 + x - 2}{x^2 - 4}$

(5) $\lim_{x \to \infty} \frac{2x^2 + 1}{3x^2 + x + 2}$

(6) $\lim_{x \to \infty} \frac{2x - 1}{x^2 + 1}$

(7) $\lim_{x \to \infty} e^x$

(8) $\lim_{x \to \infty} \log x$

2. 解き方の手順

(1) $\lim_{x \to 2} (3x^2 + 5x - 5)$

多項式関数の極限なので、xに2を代入します。

$3(2)^2 + 5(2) - 5 = 3(4) + 10 - 5 = 12 + 10 - 5 = 17$

(2) $\lim_{x \to 3} (x - 1)(x - 3)$

多項式関数の極限なので、xに3を代入します。

$(3 - 1)(3 - 3) = (2)(0) = 0$

(3) $\lim_{x \to 1} \frac{x^2 + 3x - 4}{x^2 + x - 2}$

$x=1$を代入すると分子も分母も0になる不定形なので、因数分解して約分します。

$\frac{x^2 + 3x - 4}{x^2 + x - 2} = \frac{(x - 1)(x + 4)}{(x - 1)(x + 2)}$

$\lim_{x \to 1} \frac{(x - 1)(x + 4)}{(x - 1)(x + 2)} = \lim_{x \to 1} \frac{x + 4}{x + 2}$

$x=1$を代入して、$\frac{1 + 4}{1 + 2} = \frac{5}{3}$

(4) $\lim_{x \to -2} \frac{x^2 + x - 2}{x^2 - 4}$

$x=-2$を代入すると分子も分母も0になる不定形なので、因数分解して約分します。

$\frac{x^2 + x - 2}{x^2 - 4} = \frac{(x - 1)(x + 2)}{(x - 2)(x + 2)}$

$\lim_{x \to -2} \frac{(x - 1)(x + 2)}{(x - 2)(x + 2)} = \lim_{x \to -2} \frac{x - 1}{x - 2}$

$x=-2$を代入して、$\frac{-2 - 1}{-2 - 2} = \frac{-3}{-4} = \frac{3}{4}$

(5) $\lim_{x \to \infty} \frac{2x^2 + 1}{3x^2 + x + 2}$

分子と分母を$x^2$で割ります。

$\lim_{x \to \infty} \frac{2 + \frac{1}{x^2}}{3 + \frac{1}{x} + \frac{2}{x^2}}$

$x \to \infty$のとき、$\frac{1}{x^2} \to 0$、$\frac{1}{x} \to 0$となるので、

$\frac{2 + 0}{3 + 0 + 0} = \frac{2}{3}$

(6) $\lim_{x \to \infty} \frac{2x - 1}{x^2 + 1}$

分子と分母を$x^2$で割ります。

$\lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2}{x} - \frac{1}{x^2}}{1 + \frac{1}{x^2}}$

$x \to \infty$のとき、$\frac{2}{x} \to 0$、$\frac{1}{x^2} \to 0$となるので、

$\frac{0 - 0}{1 + 0} = \frac{0}{1} = 0$

(7) $\lim_{x \to \infty} e^x$

$x$が無限大に近づくと、$e^x$も無限大に近づきます。

(8) $\lim_{x \to \infty} \log x$

$x$が無限大に近づくと、$\log x$も無限大に近づきます。

3. 最終的な答え

(1) 17

(2) 0

(3) $\frac{5}{3}$

(4) $\frac{3}{4}$

(5) $\frac{2}{3}$

(6) 0

(7) $\infty$

(8) $\infty$