与えられた各関数について、微分 $dy$ を求め、それを用いて指定された値の近似値を計算する。 (1) $y = \cos x$ について、$\cos(\frac{\pi}{4} + 0.01)$ の近似値を求める。 (2) $y = \sqrt{x}$ について、$\sqrt{1.001}$ の近似値を求める。 (3) $y = \log x$ について、$\log 0.99$ の近似値を求める。

1. 問題の内容

与えられた各関数について、微分 $dy$ を求め、それを用いて指定された値の近似値を計算する。

(1) $y = \cos x$ について、$\cos(\frac{\pi}{4} + 0.01)$ の近似値を求める。

(2) $y = \sqrt{x}$ について、$\sqrt{1.001}$ の近似値を求める。

(3) $y = \log x$ について、$\log 0.99$ の近似値を求める。

2. 解き方の手順

(1) $y = \cos x$ の場合

まず、微分 $dy$ を計算する。

$dy = \frac{dy}{dx} dx = -\sin x \, dx$

$x = \frac{\pi}{4}$ のとき、$\sin x = \sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$dx = 0.01$ であるから、

$dy = -\frac{\sqrt{2}}{2} (0.01) = -0.005\sqrt{2}$

したがって、$\cos(\frac{\pi}{4} + 0.01)$ の近似値は

$\cos(\frac{\pi}{4} + 0.01) \approx \cos(\frac{\pi}{4}) + dy = \frac{\sqrt{2}}{2} - 0.005\sqrt{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}(1 - 0.01) = 0.99 \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0.70005$

(2) $y = \sqrt{x}$ の場合

まず、微分 $dy$ を計算する。

$dy = \frac{dy}{dx} dx = \frac{1}{2\sqrt{x}} dx$

$x = 1$ のとき、$\sqrt{x} = 1$

$dx = 0.001$ であるから、

$dy = \frac{1}{2} (0.001) = 0.0005$

したがって、$\sqrt{1.001}$ の近似値は

$\sqrt{1.001} \approx \sqrt{1} + dy = 1 + 0.0005 = 1.0005$

(3) $y = \log x$ の場合

まず、微分 $dy$ を計算する。

$dy = \frac{dy}{dx} dx = \frac{1}{x} dx$

$x = 1$ のとき、

$dx = -0.01$ であるから、

$dy = \frac{1}{1} (-0.01) = -0.01$

したがって、$\log 0.99$ の近似値は

$\log 0.99 \approx \log 1 + dy = 0 - 0.01 = -0.01$

3. 最終的な答え

(1) $\cos(\frac{\pi}{4} + 0.01) \approx 0.70005$

(2) $\sqrt{1.001} \approx 1.0005$

(3) $\log 0.99 \approx -0.01$