与えられた6つの関数を微分する問題です。 (1) $x^{x+1}$ ($x>0$) (2) $x^{\sin x}$ ($x>0$) (3) $(\sin x)^x$ ($0 < x < \pi$) (4) $(1+x^2)^{\cos x}$ (5) $(3+\cos x)^{\sin x}$ (6) $\frac{x(x+1)(x+2)}{(x-1)(x-2)}$

1. 問題の内容

与えられた6つの関数を微分する問題です。

(1) $x^{x+1}$ ($x>0$)

(2) $x^{\sin x}$ ($x>0$)

(3) $(\sin x)^x$ ($0 < x < \pi$)

(4) $(1+x^2)^{\cos x}$

(5) $(3+\cos x)^{\sin x}$

(6) $\frac{x(x+1)(x+2)}{(x-1)(x-2)}$

2. 解き方の手順

(1) $y=x^{x+1}$

両辺の自然対数をとると、

$\ln y = (x+1)\ln x$

両辺を$x$で微分すると、

$\frac{1}{y}\frac{dy}{dx} = \ln x + (x+1)\frac{1}{x} = \ln x + 1 + \frac{1}{x}$

よって、

$\frac{dy}{dx} = y(\ln x + 1 + \frac{1}{x}) = x^{x+1}(\ln x + 1 + \frac{1}{x})$

(2) $y=x^{\sin x}$

両辺の自然対数をとると、

$\ln y = \sin x \ln x$

両辺を$x$で微分すると、

$\frac{1}{y}\frac{dy}{dx} = \cos x \ln x + \sin x \frac{1}{x}$

よって、

$\frac{dy}{dx} = y(\cos x \ln x + \frac{\sin x}{x}) = x^{\sin x}(\cos x \ln x + \frac{\sin x}{x})$

(3) $y=(\sin x)^x$

両辺の自然対数をとると、

$\ln y = x\ln (\sin x)$

両辺を$x$で微分すると、

$\frac{1}{y}\frac{dy}{dx} = \ln(\sin x) + x\frac{\cos x}{\sin x} = \ln(\sin x) + x\cot x$

よって、

$\frac{dy}{dx} = y(\ln(\sin x) + x\cot x) = (\sin x)^x(\ln(\sin x) + x\cot x)$

(4) $y=(1+x^2)^{\cos x}$

両辺の自然対数をとると、

$\ln y = \cos x \ln(1+x^2)$

両辺を$x$で微分すると、

$\frac{1}{y}\frac{dy}{dx} = -\sin x \ln(1+x^2) + \cos x \frac{2x}{1+x^2}$

よって、

$\frac{dy}{dx} = y(-\sin x \ln(1+x^2) + \frac{2x\cos x}{1+x^2}) = (1+x^2)^{\cos x}(-\sin x \ln(1+x^2) + \frac{2x\cos x}{1+x^2})$

(5) $y=(3+\cos x)^{\sin x}$

両辺の自然対数をとると、

$\ln y = \sin x \ln(3+\cos x)$

両辺を$x$で微分すると、

$\frac{1}{y}\frac{dy}{dx} = \cos x \ln(3+\cos x) + \sin x \frac{-\sin x}{3+\cos x} = \cos x \ln(3+\cos x) - \frac{\sin^2 x}{3+\cos x}$

よって、

$\frac{dy}{dx} = y(\cos x \ln(3+\cos x) - \frac{\sin^2 x}{3+\cos x}) = (3+\cos x)^{\sin x}(\cos x \ln(3+\cos x) - \frac{\sin^2 x}{3+\cos x})$

(6) $y = \frac{x(x+1)(x+2)}{(x-1)(x-2)}$

両辺の自然対数をとると、

$\ln y = \ln x + \ln(x+1) + \ln(x+2) - \ln(x-1) - \ln(x-2)$

両辺を$x$で微分すると、

$\frac{1}{y}\frac{dy}{dx} = \frac{1}{x} + \frac{1}{x+1} + \frac{1}{x+2} - \frac{1}{x-1} - \frac{1}{x-2}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{x(x+1)(x+2)}{(x-1)(x-2)} (\frac{1}{x} + \frac{1}{x+1} + \frac{1}{x+2} - \frac{1}{x-1} - \frac{1}{x-2})$

$\frac{dy}{dx} = \frac{x(x+1)(x+2)}{(x-1)(x-2)} (\frac{(x+1)(x+2) + x(x+2) + x(x+1) - x(x-1)(x-2) - x(x+1)(x-1)}{x(x+1)(x+2)} ) = \frac{x^2 + 3x + 2 + x^2 + 2x + x^2 + x - (x^3 - 3x^2 + 2x) - (x^3 - x)}{ (x-1)(x-2) } = \frac{ 3x^2 + 6x + 2 - 2x^3 + 3x^2 -x}{ (x-1)(x-2)}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{x(x+1)(x+2)}{(x-1)(x-2)}(\frac{1}{x} + \frac{1}{x+1} + \frac{1}{x+2} - \frac{1}{x-1} - \frac{1}{x-2})$

$\frac{dy}{dx} = \frac{x(x+1)(x+2)}{(x-1)(x-2)}(\frac{1}{x}+\frac{1}{x+1}+\frac{1}{x+2}-\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x-2})$

$\frac{dy}{dx} = \frac{x(x+1)(x+2)}{(x-1)(x-2)} \cdot \frac{-4x^2 + 4x + 4}{x(x^2 - 1)(x-2)}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{x(x+1)(x+2)}{(x-1)(x-2)} \left( \frac{1}{x} + \frac{1}{x+1} + \frac{1}{x+2} - \frac{1}{x-1} - \frac{1}{x-2} \right) = \frac{x(x+1)(x+2)}{(x-1)(x-2)} \left( \frac{2}{x(x+1)(x+2)(x-1)(x-2)} (-4x^2 + 4x + 4) \right)$

3. 最終的な答え

(1) $x^{x+1}(\ln x + 1 + \frac{1}{x})$

(2) $x^{\sin x}(\cos x \ln x + \frac{\sin x}{x})$

(3) $(\sin x)^x(\ln(\sin x) + x\cot x)$

(4) $(1+x^2)^{\cos x}(-\sin x \ln(1+x^2) + \frac{2x\cos x}{1+x^2})$

(5) $(3+\cos x)^{\sin x}(\cos x \ln(3+\cos x) - \frac{\sin^2 x}{3+\cos x})$

(6) $\frac{x(x+1)(x+2)}{(x-1)(x-2)}(\frac{1}{x} + \frac{1}{x+1} + \frac{1}{x+2} - \frac{1}{x-1} - \frac{1}{x-2})$

あるいは$\frac{x(x+1)(x+2)}{(x-1)(x-2)} \left( \frac{-4}{x(x-1)(x-2)} \right)$

$\frac{dy}{dx} = \frac{-4 (x+1)(x+2)}{(x-1)^2 (x-2)^2}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{-4 (x+1)(x+2)}{(x-1)^2 (x-2)^2}$

$\frac{-4 (x+1)(x+2)}{(x-1)^2 (x-2)^2}$