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次の関数を微分する問題です。 $f(x) = \sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}}$

解析学微分導関数関数の微分
2025/6/1
はい、承知いたしました。画像にある問題のうち、(1)の問題を解きます。

1. 問題の内容

次の関数を微分する問題です。
f(x)=x+1xf(x) = \sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}}

2. 解き方の手順

まず、関数を指数表記に書き換えます。
f(x)=x12+x−12f(x) = x^{\frac{1}{2}} + x^{-\frac{1}{2}}
次に、各項を微分します。べき乗の微分公式 ddxxn=nxn−1\frac{d}{dx}x^n = nx^{n-1} を使います。
ddxx12=12x12−1=12x−12\frac{d}{dx} x^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2}x^{\frac{1}{2}-1} = \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}
ddxx−12=−12x−12−1=−12x−32\frac{d}{dx} x^{-\frac{1}{2}} = -\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}-1} = -\frac{1}{2}x^{-\frac{3}{2}}
したがって、導関数は以下のようになります。
f′(x)=12x−12−12x−32f'(x) = \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} - \frac{1}{2}x^{-\frac{3}{2}}
指数表記から根号表記に戻します。
f′(x)=12x−12xxf'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}} - \frac{1}{2x\sqrt{x}}
通分してまとめます。
f′(x)=x−12xxf'(x) = \frac{x - 1}{2x\sqrt{x}}

3. 最終的な答え

f′(x)=x−12xxf'(x) = \frac{x-1}{2x\sqrt{x}}

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