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問題は、9番が剰余の定理に関する問題、10番が因数分解の問題です。ここでは、10番の問題を解きます。 (1) $x^3 - 8x^2 + 17x - 10$ (2) $x^3 - 7x - 6$ (3) $2x^3 + x^2 - 8x - 4$ (4) $10x^3 - 13x^2 - 15x + 18$ (5) $x^3 + 3x^2 + 3x + 2$ (6) $x^4 - 4x^3 + 10x^2 - 17x + 10$ (7) $9x^4 + 24x^3 + 13x^2 - 10x - 8$ (8) $x^4 - x^3 - x + 1$

代数学因数分解因数定理多項式
2025/5/26

1. 問題の内容

問題は、9番が剰余の定理に関する問題、10番が因数分解の問題です。ここでは、10番の問題を解きます。
(1) x3−8x2+17x−10x^3 - 8x^2 + 17x - 10
(2) x3−7x−6x^3 - 7x - 6
(3) 2x3+x2−8x−42x^3 + x^2 - 8x - 4
(4) 10x3−13x2−15x+1810x^3 - 13x^2 - 15x + 18
(5) x3+3x2+3x+2x^3 + 3x^2 + 3x + 2
(6) x4−4x3+10x2−17x+10x^4 - 4x^3 + 10x^2 - 17x + 10
(7) 9x4+24x3+13x2−10x−89x^4 + 24x^3 + 13x^2 - 10x - 8
(8) x4−x3−x+1x^4 - x^3 - x + 1

2. 解き方の手順

各問題に対して、因数定理を利用して因数分解を行います。
(1) x3−8x2+17x−10x^3 - 8x^2 + 17x - 10
P(1)=1−8+17−10=0P(1) = 1 - 8 + 17 - 10 = 0 より、x−1x-1 を因数に持つ。
x3−8x2+17x−10=(x−1)(x2−7x+10)=(x−1)(x−2)(x−5)x^3 - 8x^2 + 17x - 10 = (x-1)(x^2 - 7x + 10) = (x-1)(x-2)(x-5)
(2) x3−7x−6x^3 - 7x - 6
P(−1)=−1+7−6=0P(-1) = -1 + 7 - 6 = 0 より、x+1x+1 を因数に持つ。
x3−7x−6=(x+1)(x2−x−6)=(x+1)(x−3)(x+2)x^3 - 7x - 6 = (x+1)(x^2 - x - 6) = (x+1)(x-3)(x+2)
(3) 2x3+x2−8x−42x^3 + x^2 - 8x - 4
P(−1/2)=2(−1/8)+1/4−8(−1/2)−4=−1/4+1/4+4−4=0P(-1/2) = 2(-1/8) + 1/4 - 8(-1/2) - 4 = -1/4 + 1/4 + 4 - 4 = 0 より、2x+12x+1 を因数に持つ。
2x3+x2−8x−4=(2x+1)(x2−4)=(2x+1)(x−2)(x+2)2x^3 + x^2 - 8x - 4 = (2x+1)(x^2 - 4) = (2x+1)(x-2)(x+2)
(4) 10x3−13x2−15x+1810x^3 - 13x^2 - 15x + 18
P(1)=10−13−15+18=0P(1) = 10 - 13 - 15 + 18 = 0 より、x−1x-1 を因数に持つ。
10x3−13x2−15x+18=(x−1)(10x2−3x−18)=(x−1)(2x−3)(5x+6)10x^3 - 13x^2 - 15x + 18 = (x-1)(10x^2 - 3x - 18) = (x-1)(2x-3)(5x+6)
(5) x3+3x2+3x+2x^3 + 3x^2 + 3x + 2
P(−2)=−8+12−6+2=0P(-2) = -8 + 12 - 6 + 2 = 0 より、x+2x+2 を因数に持つ。
x3+3x2+3x+2=(x+2)(x2+x+1)x^3 + 3x^2 + 3x + 2 = (x+2)(x^2 + x + 1)
(6) x4−4x3+10x2−17x+10x^4 - 4x^3 + 10x^2 - 17x + 10
P(1)=1−4+10−17+10=0P(1) = 1 - 4 + 10 - 17 + 10 = 0 より、x−1x-1 を因数に持つ。
P(2)=16−32+40−34+10=0P(2) = 16 - 32 + 40 - 34 + 10 = 0 より、x−2x-2 を因数に持つ。
x4−4x3+10x2−17x+10=(x−1)(x−2)(x2−x+5)x^4 - 4x^3 + 10x^2 - 17x + 10 = (x-1)(x-2)(x^2-x+5)
(7) 9x4+24x3+13x2−10x−89x^4 + 24x^3 + 13x^2 - 10x - 8
P(−2/3)=9(16/81)+24(−8/27)+13(4/9)−10(−2/3)−8=16/9−64/9+52/9+60/9−72/9=(16−64+52+60−72)/9=−8/9≠0P(-2/3) = 9(16/81) + 24(-8/27) + 13(4/9) - 10(-2/3) - 8 = 16/9 - 64/9 + 52/9 + 60/9 - 72/9 = (16-64+52+60-72)/9 = -8/9 \neq 0
P(−1)=9−24+13+10−8=0P(-1) = 9 - 24 + 13 + 10 - 8 = 0 より、x+1x+1を因数に持つ
P(−2)=144−192+52+20−8=16≠0P(-2) = 144 - 192 + 52 + 20 - 8 = 16 \neq 0
9x4+24x3+13x2−10x−8=(x+1)(9x3+15x2−2x−8)9x^4 + 24x^3 + 13x^2 - 10x - 8 = (x+1)(9x^3+15x^2-2x-8)
Q(−1)=−9+15+2−8=0Q(-1) = -9+15+2-8=0
9x4+24x3+13x2−10x−8=(x+1)(x+1)(9x2+6x−8)=(x+1)(x+1)(3x−2)(3x+4)=(x+1)2(3x−2)(3x+4)9x^4 + 24x^3 + 13x^2 - 10x - 8 = (x+1)(x+1)(9x^2+6x-8) = (x+1)(x+1)(3x-2)(3x+4) = (x+1)^2(3x-2)(3x+4)
(8) x4−x3−x+1x^4 - x^3 - x + 1
x4−x3−x+1=x3(x−1)−(x−1)=(x−1)(x3−1)=(x−1)(x−1)(x2+x+1)=(x−1)2(x2+x+1)x^4 - x^3 - x + 1 = x^3(x-1) - (x-1) = (x-1)(x^3-1) = (x-1)(x-1)(x^2+x+1) = (x-1)^2(x^2+x+1)

3. 最終的な答え

(1) (x−1)(x−2)(x−5)(x-1)(x-2)(x-5)
(2) (x+1)(x−3)(x+2)(x+1)(x-3)(x+2)
(3) (2x+1)(x−2)(x+2)(2x+1)(x-2)(x+2)
(4) (x−1)(2x−3)(5x+6)(x-1)(2x-3)(5x+6)
(5) (x+2)(x2+x+1)(x+2)(x^2 + x + 1)
(6) (x−1)(x−2)(x2−x+5)(x-1)(x-2)(x^2-x+5)
(7) (x+1)2(3x−2)(3x+4)(x+1)^2(3x-2)(3x+4)
(8) (x−1)2(x2+x+1)(x-1)^2(x^2+x+1)

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