次の2つの2次式を複素数の範囲で因数分解する。 (1) $2x^2 - 3x - 1$ (2) $x^2 - 2x + 5$

1. 問題の内容

次の2つの2次式を複素数の範囲で因数分解する。

(1) $2x^2 - 3x - 1$

(2) $x^2 - 2x + 5$

2. 解き方の手順

(1) $2x^2 - 3x - 1$ について

まず、$2x^2 - 3x - 1 = 0$ の解を求める。

解の公式より、

$x = \frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2 - 4(2)(-1)}}{2(2)} = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 8}}{4} = \frac{3 \pm \sqrt{17}}{4}$

よって、$2x^2 - 3x - 1 = 2(x - \frac{3 + \sqrt{17}}{4})(x - \frac{3 - \sqrt{17}}{4})$

(2) $x^2 - 2x + 5$ について

まず、$x^2 - 2x + 5 = 0$ の解を求める。

解の公式より、

$x = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4(1)(5)}}{2(1)} = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 20}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{-16}}{2} = \frac{2 \pm 4i}{2} = 1 \pm 2i$

よって、$x^2 - 2x + 5 = (x - (1 + 2i))(x - (1 - 2i))$

3. 最終的な答え

(1) $2(x - \frac{3 + \sqrt{17}}{4})(x - \frac{3 - \sqrt{17}}{4})$

(2) $(x - (1 + 2i))(x - (1 - 2i))$