与えられた多項式の積を展開する問題です。具体的には、以下の4つの式を展開します。 (1) $(x^2 + 5x + 3)(x - 4)$ (2) $(a^2 - 2a - 2)(3 - a)$ (3) $(x^2 - 2xy - y^2)(x - 3y)$ (4) $(2x^2 - 3xy - y^2)(3x^2 - 2xy + y^2)$

1. 問題の内容

与えられた多項式の積を展開する問題です。具体的には、以下の4つの式を展開します。

(1) $(x^2 + 5x + 3)(x - 4)$

(2) $(a^2 - 2a - 2)(3 - a)$

(3) $(x^2 - 2xy - y^2)(x - 3y)$

(4) $(2x^2 - 3xy - y^2)(3x^2 - 2xy + y^2)$

2. 解き方の手順

各多項式のすべての項を順番に掛け合わせ、同類項をまとめることで展開します。

(1) $(x^2 + 5x + 3)(x - 4)$

$x^2(x - 4) + 5x(x - 4) + 3(x - 4)$

$= x^3 - 4x^2 + 5x^2 - 20x + 3x - 12$

$= x^3 + x^2 - 17x - 12$

(2) $(a^2 - 2a - 2)(3 - a)$

$a^2(3 - a) - 2a(3 - a) - 2(3 - a)$

$= 3a^2 - a^3 - 6a + 2a^2 - 6 + 2a$

$= -a^3 + 5a^2 - 4a - 6$

(3) $(x^2 - 2xy - y^2)(x - 3y)$

$x^2(x - 3y) - 2xy(x - 3y) - y^2(x - 3y)$

$= x^3 - 3x^2y - 2x^2y + 6xy^2 - xy^2 + 3y^3$

$= x^3 - 5x^2y + 5xy^2 + 3y^3$

(4) $(2x^2 - 3xy - y^2)(3x^2 - 2xy + y^2)$

$2x^2(3x^2 - 2xy + y^2) - 3xy(3x^2 - 2xy + y^2) - y^2(3x^2 - 2xy + y^2)$

$= 6x^4 - 4x^3y + 2x^2y^2 - 9x^3y + 6x^2y^2 - 3xy^3 - 3x^2y^2 + 2xy^3 - y^4$

$= 6x^4 - 13x^3y + 5x^2y^2 - xy^3 - y^4$

3. 最終的な答え

(1) $x^3 + x^2 - 17x - 12$

(2) $-a^3 + 5a^2 - 4a - 6$

(3) $x^3 - 5x^2y + 5xy^2 + 3y^3$

(4) $6x^4 - 13x^3y + 5x^2y^2 - xy^3 - y^4$