与えられた群数列について、(1) $\frac{1}{10}$ は第何項か、(2) 第100項を求める。

1. 問題の内容

与えられた群数列について、(1) $\frac{1}{10}$ は第何項か、(2) 第100項を求める。

2. 解き方の手順

(1) $\frac{1}{10}$ が何項か求める。

まず、群数列の構造を確認する。

第$n$群は $\frac{1}{n}, \frac{4}{n}, \frac{9}{n}, \dots, \frac{n^2}{n}$ となっている。

第$n$群には$n$個の項がある。

$\frac{1}{10}$ は第10群の最初の項である。

第9群までの項数の合計は、

$1 + 2 + 3 + \dots + 9 = \frac{9(9+1)}{2} = \frac{9 \times 10}{2} = 45$

したがって、$\frac{1}{10}$ は第46項である。

(2) 第100項を求める。

第$n$群までの項数の合計を$S_n$とすると、

$S_n = 1 + 2 + 3 + \dots + n = \frac{n(n+1)}{2}$

$S_n$ が100を超える最小の $n$ を探す。

$\frac{n(n+1)}{2} \ge 100$

$n(n+1) \ge 200$

$n^2 + n - 200 \ge 0$

$n$ の近似値を求めると、 $n \approx \sqrt{200} \approx 14.14$

$n=14$ とすると、$S_{14} = \frac{14 \times 15}{2} = 105$

$n=13$ とすると、$S_{13} = \frac{13 \times 14}{2} = 91$

したがって、第100項は第14群に含まれる。

第14群の最初の項は第92項である。

第100項は第14群の $100 - 91 = 9$ 番目の項である。

第14群の $k$ 番目の項は $\frac{k^2}{14}$ である。

したがって、第100項は $\frac{9^2}{14} = \frac{81}{14}$ である。

3. 最終的な答え

(1) 第46項

(2) $\frac{81}{14}$