与えられた5つの数学の問題に答えます。 * 問題1: 2次関数 $y = -3x^2 + 4x + 1$ のグラフの頂点の座標を求めます。 * 問題2: 頂点の座標が (2, 1) で、点 (0, 3) を通る $y$ 軸に平行な軸をもつ放物線の方程式を $y = \text{ウ}x^2 + \text{エ}x + \text{オ}$ の形で求めます。 * 問題3: 2次関数 $y = -x^2 + 5x - \frac{1}{4}$ の定義域が $1 \le x \le 5$ で与えられているとき、最大値と最小値を求めます。 * 問題4: 2次関数 $y = -2x^2 - 4x + 1$ のグラフと $x$ 軸との共有点の個数を「2個ある」「1個ある」「ない」から選びます。 * 問題5: 2次関数 $y = x^2 - 2x + k + 3$ のグラフが $x$ 軸と共有点を持たないような定数 $k$ の範囲を不等号を用いて求めます。

1. 問題の内容

与えられた5つの数学の問題に答えます。

* 問題1: 2次関数 $y = -3x^2 + 4x + 1$ のグラフの頂点の座標を求めます。

* 問題2: 頂点の座標が (2, 1) で、点 (0, 3) を通る $y$ 軸に平行な軸をもつ放物線の方程式を $y = \text{ウ}x^2 + \text{エ}x + \text{オ}$ の形で求めます。

* 問題3: 2次関数 $y = -x^2 + 5x - \frac{1}{4}$ の定義域が $1 \le x \le 5$ で与えられているとき、最大値と最小値を求めます。

* 問題4: 2次関数 $y = -2x^2 - 4x + 1$ のグラフと $x$ 軸との共有点の個数を「2個ある」「1個ある」「ない」から選びます。

* 問題5: 2次関数 $y = x^2 - 2x + k + 3$ のグラフが $x$ 軸と共有点を持たないような定数 $k$ の範囲を不等号を用いて求めます。

2. 解き方の手順

* **問題1:**

* 平方完成を用いて頂点の座標を求めます。

$y = -3x^2 + 4x + 1 = -3(x^2 - \frac{4}{3}x) + 1 = -3(x - \frac{2}{3})^2 + 3(\frac{4}{9}) + 1 = -3(x - \frac{2}{3})^2 + \frac{4}{3} + 1 = -3(x - \frac{2}{3})^2 + \frac{7}{3}$

* 頂点の座標は $(\frac{2}{3}, \frac{7}{3})$ です。

* **問題2:**

* 頂点の座標が (2, 1) であるから、放物線の方程式は $y = a(x-2)^2 + 1$ と表せます。

* 点 (0, 3) を通るので、 $3 = a(0-2)^2 + 1$ が成り立ちます。

* $3 = 4a + 1$ より、$4a = 2$、$a = \frac{1}{2}$

* よって、$y = \frac{1}{2}(x-2)^2 + 1 = \frac{1}{2}(x^2 - 4x + 4) + 1 = \frac{1}{2}x^2 - 2x + 2 + 1 = \frac{1}{2}x^2 - 2x + 3$

* したがって、$y = \frac{1}{2}x^2 - 2x + 3$ です。

* **問題3:**

* $y = -x^2 + 5x - \frac{1}{4} = -(x^2 - 5x) - \frac{1}{4} = -(x - \frac{5}{2})^2 + \frac{25}{4} - \frac{1}{4} = -(x - \frac{5}{2})^2 + \frac{24}{4} = -(x - \frac{5}{2})^2 + 6$

* 頂点は $(\frac{5}{2}, 6)$ です。

* 定義域は $1 \le x \le 5$ です。

* $x = 1$ のとき、$y = -1 + 5 - \frac{1}{4} = 4 - \frac{1}{4} = \frac{15}{4}$

* $x = 5$ のとき、$y = -25 + 25 - \frac{1}{4} = -\frac{1}{4}$

* 頂点の $x$ 座標は $x = \frac{5}{2} = 2.5$ で、定義域に含まれるので、最大値は $6$ です。

* $x = 5$ で最小値 $-\frac{1}{4}$ をとります。

* **問題4:**

* $y = -2x^2 - 4x + 1$ のグラフと $x$ 軸との共有点の個数は、$y = 0$ となる実数解の個数に等しいです。

* 判別式を $D$ とすると、$D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4(-2)(1) = 16 + 8 = 24 > 0$ より、実数解は2つ存在します。

* したがって、共有点は2個あります。

* **問題5:**

* $y = x^2 - 2x + k + 3$ のグラフが $x$ 軸と共有点を持たない条件は、判別式 $D = b^2 - 4ac < 0$ であることです。

* $D = (-2)^2 - 4(1)(k+3) = 4 - 4k - 12 = -4k - 8 < 0$

* $-4k < 8$ より、$k > -2$

3. 最終的な答え

* 問題1: $(\frac{2}{3}, \frac{7}{3})$

* 問題2: $y = \frac{1}{2}x^2 - 2x + 3$

* 問題3: 最大値 $6$, 最小値 $-\frac{1}{4}$

* 問題4: 2個ある

* 問題5: $k > -2$