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図形がAからEの5つの部分に分けられており、青、赤、黄、白、緑の5色を使って塗り分ける。ただし、隣り合う部分は異なる色で塗る。5色全てを使って塗り分ける方法は何通りあるか。

離散数学組み合わせ塗り分け場合の数グラフ彩色
2025/5/26

1. 問題の内容

図形がAからEの5つの部分に分けられており、青、赤、黄、白、緑の5色を使って塗り分ける。ただし、隣り合う部分は異なる色で塗る。5色全てを使って塗り分ける方法は何通りあるか。

2. 解き方の手順

5つの部分に5色を割り当てる場合の数を考えます。
Aから順に色を塗っていくことを考えると、
Aの塗り方は5通り。
BはAと隣り合っているので、Aで使った色以外の4通り。
CはAと隣り合っているので、Aで使った色以外の4通り。
DはBと隣り合っているので、Bで使った色以外の4通り。
EはCとDと隣り合っているので、CとDで使った色以外の3通り。
したがって、塗り方の総数は
5×4×4×4×3=9605 \times 4 \times 4 \times 4 \times 3 = 960 通り となります。
しかし問題文には「5色すべてを用いて」とあるので、A,B,C,D,Eの順に色を塗る塗り方は、単純な順列ではなく、制約条件を考慮する必要があります。
5つの部分に5色を全て使うので、並び方は5の階乗で求められます。
5!=5×4×3×2×1=1205! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120 通り

3. 最終的な答え

120通り

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