半径1の球Aに、半径$r$ ($0<r<1$) の半球面Bをかぶせた立体を考える。この立体の体積が最大となる $r$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

半径1の球Aに、半径$r$ ($0<r<1$) の半球面Bをかぶせた立体を考える。この立体の体積が最大となる $r$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、立体の体積を $r$ の関数として表す。

球Aの体積は $\frac{4}{3}\pi (1)^3 = \frac{4}{3}\pi$ である。

半球面Bの体積は $\frac{1}{2} \cdot \frac{4}{3}\pi r^3 = \frac{2}{3}\pi r^3$ である。

次に、球Aに半球面Bをかぶせた立体を考える。

球Aの中心から、半球面Bの底面までの距離を $h$ とする。

このとき、$h = 1 - \sqrt{r^2 - x^2}$であり、$x$は半球面Bの底面の半径である。

球Aと半球面Bが重なっている部分の体積を考える。

球Aのうち、半球面Bに隠れている部分の体積を求める。

球Aの中心からの距離が $1-h$である水平な断面の面積は$\pi [1^2 - (1-h)^2] = \pi (2h - h^2)$.

球Aと半球面Bが重なっている部分の体積は

$\int_0^h \pi(2x-x^2) dx = \pi[x^2 - \frac{1}{3}x^3]_0^h = \pi(h^2 - \frac{1}{3}h^3)$

ここで $h$は半球面Bが球Aをどれだけ覆っているかをあらわす量である。

球Aの中心から半球面Bの底面までの距離を $d$ とすると、 $d = \sqrt{1-r^2}$

なので、 半球面Bが球Aを覆っている高さ $h = 1-d = 1 - \sqrt{r^2}$.

立体の体積 $V$ は、球Aの体積 + 半球面Bの体積 - 重なっている部分の体積 で表される。

$V = \frac{4}{3}\pi + \frac{2}{3}\pi r^3 - \pi h^2 (1 - \frac{h}{3})$。

ただし、$h = 1-\sqrt{1-r^2}$

しかし、このアプローチは複雑すぎる。

球Aの体積は定数なので、半球面Bをかぶせた部分の体積を最大化することを考えれば良い。

半球面Bを球Aにかぶせたとき、重複部分の体積が最小となるように $r$ を決定すれば良い。

球Aの中心を原点とし、半球面Bの中心を $x$ 軸上に置くと、立体の体積は

$V = \frac{4}{3}\pi (1)^3 + \frac{2}{3}\pi r^3 - (\text{重なった部分の体積})$

重なった部分の体積は $r$ によって変化する。

これを最大化するには、$d V/dr = 0$ となる $r$ を求めれば良い。

しかし、この問題は幾何的に解くのが難しい。

別のアプローチとして、$r$ が小さいときと大きいときで体積がどう変化するかを考える。

$r \to 0$ のとき、立体の体積は $\frac{4}{3}\pi$ に近づく。

$r \to 1$ のとき、立体の体積は $\frac{4}{3}\pi + \frac{2}{3}\pi = 2\pi$ に近づく。

体積は $r$ が増加するにつれて増加する傾向がある。

立体の体積が最大となる $r$ を求めるためには、$V$ を $r$ で微分して $dV/dr = 0$ となる $r$ を見つける必要がある。しかし、式が複雑になるため、ここでは解析的な解を求めることは難しい。

3. 最終的な答え

解析的に解くのは難しい。数値計算などを用いる必要があると思われる。厳密解は求められない。

最終的な答え：厳密解は求められない。