次の無限和 $S$ の値を求める問題です。 $$ S = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n (2n-1)!!}{(2n+1)(2n)!!} \left( \frac{1}{8} \right)^n $$ ここで、$k!!$ は $k$ の 2 重階乗を表します。

1. 問題の内容

次の無限和 $S$ の値を求める問題です。

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S = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n (2n-1)!!}{(2n+1)(2n)!!} \left( \frac{1}{8} \right)^n

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ここで、$k!!$ は $k$ の 2 重階乗を表します。

2. 解き方の手順

まず、$(2n-1)!!$ と $(2n)!!$ をそれぞれ階乗の形で表します。

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(2n-1)!! = \frac{(2n-1)!}{(2n-2)!!} = \frac{(2n-1)!}{2^{n-1}(n-1)!}

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(2n)!! = 2^n n!

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したがって、

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\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!} = \frac{(2n-1)!}{2^{n-1}(n-1)!} \frac{1}{2^n n!} = \frac{(2n-1)!}{2^{2n-1} n! (n-1)!} = \frac{(2n)!}{2^{2n-1} n! (n-1)! 2n} = \frac{1}{2n} \frac{(2n)!}{2^{2n-1} (n!)^2 (n)} = \frac{1}{2n^2} \binom{2n}{n} \frac{1}{2^{2n-1}}

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ここで、与えられた級数を書き換えると

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S = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n+1)} \frac{(2n-1)!!}{(2n)!!} \left( \frac{1}{8} \right)^n

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$(2n-1)!! / (2n)!!$ を書き換えます：

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\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!} = \frac{(2n)!}{(2^n n!)^2 (2n)} = \frac{(2n)!}{2^{2n} (n!)^2 n}

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したがって、

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S = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n+1)} \frac{(2n)!}{2^{2n} (n!)^2 n} \left(\frac{1}{8}\right)^n = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n+1)} \frac{(2n)!}{(n!)^2} \left(\frac{1}{4n \times 8}\right)^n = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{2n+1} \binom{2n}{n} \frac{1}{2^{5n} n} = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{2n+1} \frac{(2n)!}{(n!)^2} \frac{1}{2^{2n} \times 2^{3n}}

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$x = 1/8$ とすると、

$S = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n (2n-1)!!}{(2n+1)(2n)!!} x^n$

arcsin 関数の級数展開は、

$\arcsin(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{(2n)!}{4^n (n!)^2 (2n+1)} x^{2n+1} = x + \frac{1}{6} x^3 + \frac{3}{40} x^5 + \cdots$

ここで、$S = \sqrt{2}$ が答えになります。

3. 最終的な答え

$\sqrt{2}$