実数全体で定義され、微分可能な関数 $f(x)$ が $f(x)f'(x) = e^{2x} - e^{-2x}$ を満たし、$f(x)$ の最小値が $2$ であるとき、以下の問いに答える問題です。 (1) $e^{2x} - e^{-2x}$ の不定積分を求める。 (2) 関数 $f(x)$ を求める。

1. 問題の内容

実数全体で定義され、微分可能な関数 $f(x)$ が $f(x)f'(x) = e^{2x} - e^{-2x}$ を満たし、$f(x)$ の最小値が $2$ であるとき、以下の問いに答える問題です。

(1) $e^{2x} - e^{-2x}$ の不定積分を求める。

(2) 関数 $f(x)$ を求める。

2. 解き方の手順

(1) $e^{2x} - e^{-2x}$ の不定積分を求める。

$e^{2x}$ の積分は $\frac{1}{2}e^{2x}$ であり、$e^{-2x}$ の積分は $-\frac{1}{2}e^{-2x}$ である。

したがって、$e^{2x} - e^{-2x}$ の不定積分は、

$\int (e^{2x} - e^{-2x}) dx = \frac{1}{2}e^{2x} - (-\frac{1}{2}e^{-2x}) + C = \frac{1}{2}e^{2x} + \frac{1}{2}e^{-2x} + C$ （$C$ は積分定数）

(2) 関数 $f(x)$ を求める。

$f(x)f'(x) = e^{2x} - e^{-2x}$ を満たす関数 $f(x)$ を求める。

両辺を積分すると、

$\int f(x)f'(x) dx = \int (e^{2x} - e^{-2x}) dx$

左辺は、$u = f(x)$ とおくと、$du = f'(x) dx$ より、$\int f(x)f'(x) dx = \int u du = \frac{1}{2}u^2 + C_1 = \frac{1}{2}f(x)^2 + C_1$

右辺は、(1) の結果より、$\int (e^{2x} - e^{-2x}) dx = \frac{1}{2}e^{2x} + \frac{1}{2}e^{-2x} + C_2$

したがって、

$\frac{1}{2}f(x)^2 = \frac{1}{2}e^{2x} + \frac{1}{2}e^{-2x} + C$ （$C = C_2 - C_1$）

$f(x)^2 = e^{2x} + e^{-2x} + 2C$

ここで、$f(x)$ の最小値が $2$ であることを利用する。

$g(x) = e^{2x} + e^{-2x}$ の最小値を考える。相加平均・相乗平均の関係より、$e^{2x} + e^{-2x} \geq 2\sqrt{e^{2x}e^{-2x}} = 2$ である。

等号成立は、$e^{2x} = e^{-2x}$ のとき、つまり $x=0$ のときである。

$f(x)^2 = e^{2x} + e^{-2x} + 2C$ の最小値は $f(x) = 2$ のときだから、

$4 = 2 + 2C$ より $2C = 2$ なので $C = 1$

よって、$f(x)^2 = e^{2x} + e^{-2x} + 2 = (e^x + e^{-x})^2$

したがって、$f(x) = \pm(e^x + e^{-x})$

最小値が $2$ であることから、$f(x) = e^x + e^{-x}$ である。

3. 最終的な答え

(1) $\frac{1}{2}e^{2x} + \frac{1}{2}e^{-2x} + C$

(2) $f(x) = e^x + e^{-x}$