与えられた関数 $f(x) = \sin^{-1}x$ の1次から4次までの導関数を求め、マクローリンの定理を $n=3$ で適用して展開せよ。

1. 問題の内容

与えられた関数 $f(x) = \sin^{-1}x$ の1次から4次までの導関数を求め、マクローリンの定理を $n=3$ で適用して展開せよ。

2. 解き方の手順

まず、$f(x) = \sin^{-1}x$ の導関数を順に求める。

1次導関数:

$f'(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

2次導関数:

$f''(x) = \frac{d}{dx} (1-x^2)^{-1/2} = -\frac{1}{2} (1-x^2)^{-3/2} (-2x) = \frac{x}{(1-x^2)^{3/2}}$

3次導関数:

$f'''(x) = \frac{d}{dx} \frac{x}{(1-x^2)^{3/2}} = \frac{(1-x^2)^{3/2} - x \cdot \frac{3}{2} (1-x^2)^{1/2} (-2x)}{(1-x^2)^3} = \frac{(1-x^2)^{3/2} + 3x^2 (1-x^2)^{1/2}}{(1-x^2)^3} = \frac{(1-x^2) + 3x^2}{(1-x^2)^{5/2}} = \frac{1+2x^2}{(1-x^2)^{5/2}}$

4次導関数:

$f^{(4)}(x) = \frac{d}{dx} \frac{1+2x^2}{(1-x^2)^{5/2}} = \frac{4x(1-x^2)^{5/2} - (1+2x^2) \frac{5}{2} (1-x^2)^{3/2} (-2x)}{(1-x^2)^5} = \frac{4x(1-x^2) + 5x(1+2x^2)}{(1-x^2)^{7/2}} = \frac{4x-4x^3+5x+10x^3}{(1-x^2)^{7/2}} = \frac{9x+6x^3}{(1-x^2)^{7/2}} = \frac{3x(3+2x^2)}{(1-x^2)^{7/2}}$

次に、マクローリン展開を行うために、$x=0$ における各導関数の値を求める。

$f(0) = \sin^{-1}(0) = 0$

$f'(0) = \frac{1}{\sqrt{1-0}} = 1$

$f''(0) = \frac{0}{(1-0)^{3/2}} = 0$

$f'''(0) = \frac{1+0}{(1-0)^{5/2}} = 1$

$f^{(4)}(0) = \frac{0}{(1-0)^{7/2}} = 0$

マクローリン展開は以下の式で表される。

$f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \frac{f'''(0)}{3!}x^3 + \dots$

$n=3$ までのマクローリン展開を求めると、

$f(x) \approx 0 + 1 \cdot x + \frac{0}{2!} x^2 + \frac{1}{3!} x^3 = x + \frac{x^3}{6}$

3. 最終的な答え

$f(x) = \sin^{-1}x$ の1次から4次までの導関数は以下の通りです。

$f'(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

$f''(x) = \frac{x}{(1-x^2)^{3/2}}$

$f'''(x) = \frac{1+2x^2}{(1-x^2)^{5/2}}$

$f^{(4)}(x) = \frac{3x(3+2x^2)}{(1-x^2)^{7/2}}$

マクローリン展開（$n=3$まで）は以下の通りです。

$\sin^{-1}x \approx x + \frac{x^3}{6}$