与えられた式 $(x-y)^2 - 5(x-y) + 4$ を因数分解します。

## (1)の問題

1. 問題の内容

与えられた式 $(x-y)^2 - 5(x-y) + 4$ を因数分解します。

2. 解き方の手順

$A = x - y$ と置換します。すると、与えられた式は次のようになります。

$A^2 - 5A + 4$

この式を因数分解します。

$A^2 - 5A + 4 = (A - 1)(A - 4)$

次に、$A = x - y$ を代入します。

$(x - y - 1)(x - y - 4)$

3. 最終的な答え

$(x - y - 1)(x - y - 4)$

## (3)の問題

1. 問題の内容

与えられた式 $x^4 - 6x^2 + 1$ を因数分解します。

2. 解き方の手順

$x^4 - 6x^2 + 1$ に $2x^2$ を足して引き、平方完成を考えます。

$x^4 - 6x^2 + 1 = x^4 + 2x^2 + 1 - 8x^2 = (x^2 + 1)^2 - (2\sqrt{2}x)^2$

次に、$A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$ を利用します。

$(x^2 + 1)^2 - (2\sqrt{2}x)^2 = (x^2 + 1 - 2\sqrt{2}x)(x^2 + 1 + 2\sqrt{2}x)$

$x^2 - 2\sqrt{2}x + 1$ と $x^2 + 2\sqrt{2}x + 1$ は、それぞれ $(x - \sqrt{2})^2$ と $(x + \sqrt{2})^2$ に因数分解できます。

したがって、

$(x^2 + 1 - 2\sqrt{2}x)(x^2 + 1 + 2\sqrt{2}x) = (x^2 - 2\sqrt{2}x + 1)(x^2 + 2\sqrt{2}x + 1)$

別の因数分解の方法として、

$x^4 - 6x^2 + 1 = x^4 + 2x^2 + 1 - 8x^2 = (x^2 + 1)^2 - (2\sqrt{2}x)^2 = (x^2 - 2\sqrt{2}x + 1)(x^2 + 2\sqrt{2}x + 1)$

3. 最終的な答え

$(x^2 - 2\sqrt{2}x + 1)(x^2 + 2\sqrt{2}x + 1)$