画像に示された2つの問題を解きます。 (2) $x^3+27$を因数分解する。 (4) $2x^2+xy-y^2+4x+y+2$を因数分解する。

1. 問題の内容

画像に示された2つの問題を解きます。

(2) $x^3+27$を因数分解する。

(4) $2x^2+xy-y^2+4x+y+2$を因数分解する。

2. 解き方の手順

(2) $x^3+27$を因数分解する。

$27 = 3^3$なので、$x^3+3^3$の形である。

和の3乗の公式 $a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$ を用いる。

$a = x, b = 3$を代入すると、

$x^3 + 3^3 = (x+3)(x^2-3x+3^2)$

$x^3 + 27 = (x+3)(x^2-3x+9)$

(4) $2x^2+xy-y^2+4x+y+2$を因数分解する。

$x$について整理すると、

$2x^2 + (y+4)x + (-y^2+y+2)$

$-y^2+y+2 = -(y^2-y-2) = -(y-2)(y+1)$

よって、$2x^2 + (y+4)x -(y-2)(y+1)$

たすき掛けを考える。

$2x^2 + (y+4)x -(y-2)(y+1)$

$(2x+?)(x+?)$の形になる。

$(2x+y+1)(x-y+2) = 2x^2-2xy+4x+xy-y^2+2y+x-y+2 = 2x^2-xy-y^2+5x+y+2$ これは違う。

$(2x-y+2)(x+y+1) = 2x^2+2xy+2x-xy-y^2-y+2x+2y+2 = 2x^2+xy-y^2+4x+y+2$

よって、$2x^2+xy-y^2+4x+y+2 = (2x-y+2)(x+y+1)$

3. 最終的な答え

(2) $x^3+27 = (x+3)(x^2-3x+9)$

(4) $2x^2+xy-y^2+4x+y+2 = (2x-y+2)(x+y+1)$