与えられた3組の連立一次方程式について、以下の問いに答えます。 1. 係数行列の階数 2. 拡大係数行列の階数 3. 解の個数 (選択肢から選択) 4. 解が存在する場合は解を求め、存在しない場合は「解なし」と記入 また、与えられた2つの3x3行列の逆行列が存在するかどうかを判定し、存在する場合は掃き出し法で求め、存在しない場合はその理由を説明します。

1. 問題の内容

与えられた3組の連立一次方程式について、以下の問いに答えます。

1. 係数行列の階数

2. 拡大係数行列の階数

3. 解の個数 (選択肢から選択)

4. 解が存在する場合は解を求め、存在しない場合は「解なし」と記入

また、与えられた2つの3x3行列の逆行列が存在するかどうかを判定し、存在する場合は掃き出し法で求め、存在しない場合はその理由を説明します。

2. 解き方の手順

まず、各連立一次方程式について、係数行列と拡大係数行列を書き出します。その後、行基本変形を用いて行列を簡約化し、階数を求めます。階数を用いて解の個数を判定し、解が存在する場合は連立方程式を解いて解を求めます。

(1)

係数行列:

$A = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 2 \\ 2 & 6 & 3 \\ 2 & 5 & 2 \end{pmatrix}$

拡大係数行列:

$B = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 2 & 4 \\ 2 & 6 & 3 & 2 \\ 2 & 5 & 2 & -1 \end{pmatrix}$

$B$ を簡約化します。

$\begin{pmatrix} 1 & 3 & 2 & 4 \\ 2 & 6 & 3 & 2 \\ 2 & 5 & 2 & -1 \end{pmatrix} \xrightarrow{R_2 - 2R_1, R_3 - 2R_1} \begin{pmatrix} 1 & 3 & 2 & 4 \\ 0 & 0 & -1 & -6 \\ 0 & -1 & -2 & -9 \end{pmatrix} \xrightarrow{R_2 \leftrightarrow R_3} \begin{pmatrix} 1 & 3 & 2 & 4 \\ 0 & -1 & -2 & -9 \\ 0 & 0 & -1 & -6 \end{pmatrix}$

$\xrightarrow{-R_2, -R_3} \begin{pmatrix} 1 & 3 & 2 & 4 \\ 0 & 1 & 2 & 9 \\ 0 & 0 & 1 & 6 \end{pmatrix} \xrightarrow{R_1 - 3R_2} \begin{pmatrix} 1 & 0 & -4 & -23 \\ 0 & 1 & 2 & 9 \\ 0 & 0 & 1 & 6 \end{pmatrix} \xrightarrow{R_1 + 4R_3, R_2 - 2R_3} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & -3 \\ 0 & 0 & 1 & 6 \end{pmatrix}$

よって、係数行列の階数は 3、拡大係数行列の階数は 3。

解は $x=1, y=-3, z=6$ (解を唯1つもつ)。

(2)

係数行列:

$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -5 \\ 2 & -1 & -1 \\ 3 & -1 & -3 \end{pmatrix}$

拡大係数行列:

$B = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -5 & 0 \\ 2 & -1 & -1 & -3 \\ 3 & -1 & -3 & -4 \end{pmatrix}$

$B$ を簡約化します。

$\begin{pmatrix} 1 & 1 & -5 & 0 \\ 2 & -1 & -1 & -3 \\ 3 & -1 & -3 & -4 \end{pmatrix} \xrightarrow{R_2 - 2R_1, R_3 - 3R_1} \begin{pmatrix} 1 & 1 & -5 & 0 \\ 0 & -3 & 9 & -3 \\ 0 & -4 & 12 & -4 \end{pmatrix} \xrightarrow{-\frac{1}{3}R_2, -\frac{1}{4}R_3} \begin{pmatrix} 1 & 1 & -5 & 0 \\ 0 & 1 & -3 & 1 \\ 0 & 1 & -3 & 1 \end{pmatrix} \xrightarrow{R_3 - R_2} \begin{pmatrix} 1 & 1 & -5 & 0 \\ 0 & 1 & -3 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \xrightarrow{R_1 - R_2} \begin{pmatrix} 1 & 0 & -2 & -1 \\ 0 & 1 & -3 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

よって、係数行列の階数は 2、拡大係数行列の階数は 2。

解は無数に存在する。$x - 2z = -1, y - 3z = 1$, つまり $x = 2z - 1, y = 3z + 1$.

(3)

係数行列:

$A = \begin{pmatrix} 1 & -2 & 5 \\ 2 & -1 & 1 \\ 3 & 2 & -9 \end{pmatrix}$

拡大係数行列:

$B = \begin{pmatrix} 1 & -2 & 5 & 0 \\ 2 & -1 & 1 & 3 \\ 3 & 2 & -9 & 4 \end{pmatrix}$

$B$ を簡約化します。

$\begin{pmatrix} 1 & -2 & 5 & 0 \\ 2 & -1 & 1 & 3 \\ 3 & 2 & -9 & 4 \end{pmatrix} \xrightarrow{R_2 - 2R_1, R_3 - 3R_1} \begin{pmatrix} 1 & -2 & 5 & 0 \\ 0 & 3 & -9 & 3 \\ 0 & 8 & -24 & 4 \end{pmatrix} \xrightarrow{\frac{1}{3}R_2} \begin{pmatrix} 1 & -2 & 5 & 0 \\ 0 & 1 & -3 & 1 \\ 0 & 8 & -24 & 4 \end{pmatrix} \xrightarrow{R_3 - 8R_2} \begin{pmatrix} 1 & -2 & 5 & 0 \\ 0 & 1 & -3 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & -4 \end{pmatrix}$

よって、係数行列の階数は 2、拡大係数行列の階数は 3。

解は1つももたない。

行列の逆行列を求める問題。

(1) $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 5 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 3 & 0 & 1 & 0 \\ 2 & 4 & 5 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \xrightarrow{R_2 - R_1, R_3 - 2R_1} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 3 & -2 & 0 & 1 \end{pmatrix} \xrightarrow{R_3 - 2R_2} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 & -2 & 1 \end{pmatrix} \xrightarrow{-R_3} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 2 & -1 \end{pmatrix} \xrightarrow{R_1 - R_2} \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 & 2 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 2 & -1 \end{pmatrix} \xrightarrow{R_1 + R_3, R_2 - 2R_3} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 2 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & -1 & -3 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 2 & -1 \end{pmatrix}$

よって、$A^{-1} = \begin{pmatrix} 2 & 1 & -1 \\ -1 & -3 & 2 \\ 0 & 2 & -1 \end{pmatrix}$

(2) $B = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & -2 \\ 2 & -1 & -4 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & -1 & -2 & 0 & 1 & 0 \\ 2 & -1 & -4 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \xrightarrow{R_2 - R_1, R_3 - 2R_1} \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & -1 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & -3 & -2 & -2 & 0 & 1 \end{pmatrix} \xrightarrow{-\frac{1}{2}R_2} \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & 0 \\ 0 & -3 & -2 & -2 & 0 & 1 \end{pmatrix} \xrightarrow{R_3 + 3R_2} \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & -\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & -\frac{3}{2} & 1 \end{pmatrix} \xrightarrow{-2R_3} \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 3 & -2 \end{pmatrix} \xrightarrow{R_1 - R_2} \begin{pmatrix} 1 & 0 & -\frac{3}{2} & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 3 & -2 \end{pmatrix} \xrightarrow{R_1 + \frac{3}{2}R_3, R_2 - \frac{1}{2}R_3} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 2 & 5 & -3 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & -2 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 3 & -2 \end{pmatrix}$

よって、$B^{-1} = \begin{pmatrix} 2 & 5 & -3 \\ 0 & -2 & 1 \\ 1 & 3 & -2 \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

(1)

1. 係数行列の階数: 3

2. 拡大係数行列の階数: 3

3. 解の個数: (a) 解を唯1つのみもつ

4. 解: $x = 1, y = -3, z = 6$

(2)

1. 係数行列の階数: 2

2. 拡大係数行列の階数: 2

3. 解の個数: (b) 解を無数にもつ

4. 解: $x = 2z - 1, y = 3z + 1$ (zは任意)

(3)

1. 係数行列の階数: 2

2. 拡大係数行列の階数: 3

3. 解の個数: (c) 解を1つももたない

4. 解: 解なし

行列の逆行列:

$A^{-1} = \begin{pmatrix} 2 & 1 & -1 \\ -1 & -3 & 2 \\ 0 & 2 & -1 \end{pmatrix}$

$B^{-1} = \begin{pmatrix} 2 & 5 & -3 \\ 0 & -2 & 1 \\ 1 & 3 & -2 \end{pmatrix}$