2x2行列 $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -2 & -1 \end{pmatrix}$, $I = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$, $O = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ に関して、以下の空欄を埋める。 (1) $2(3A-2B) - 3(A-2B)$ (2) 行列Aに対してケイリー・ハミルトンの定理を用いたとき、$A^2 - \text{オ}A + \text{カ}I = O$ が成り立つ。これを用いて $A^4 - 4A^3 + 2A$ を求める。 (3) $(A+B)(A-B)$ を求める。 (4) $BX = A$ を満たす2x2行列Xを求める。

1. 問題の内容

2x2行列 $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -2 & -1 \end{pmatrix}$, $I = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$, $O = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ に関して、以下の空欄を埋める。

(1) $2(3A-2B) - 3(A-2B)$

(2) 行列Aに対してケイリー・ハミルトンの定理を用いたとき、$A^2 - \text{オ}A + \text{カ}I = O$ が成り立つ。これを用いて $A^4 - 4A^3 + 2A$ を求める。

(3) $(A+B)(A-B)$ を求める。

(4) $BX = A$ を満たす2x2行列Xを求める。

2. 解き方の手順

(1)

$2(3A - 2B) - 3(A - 2B) = 6A - 4B - 3A + 6B = 3A + 2B$

$3A = 3\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 & 3 \\ 9 & 6 \end{pmatrix}$

$2B = 2\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -2 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ -4 & -2 \end{pmatrix}$

$3A + 2B = \begin{pmatrix} 6 & 3 \\ 9 & 6 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ -4 & -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 & 3 \\ 5 & 4 \end{pmatrix}$

(2)

ケイリー・ハミルトンの定理より、$A^2 - (\text{tr}A)A + (\det A)I = O$

$\text{tr}A = 2 + 2 = 4$

$\det A = 2 \times 2 - 1 \times 3 = 4 - 3 = 1$

$A^2 - 4A + I = O$

$A^2 = 4A - I$

$A^3 = A(A^2) = A(4A - I) = 4A^2 - A = 4(4A - I) - A = 16A - 4I - A = 15A - 4I$

$A^4 = A(A^3) = A(15A - 4I) = 15A^2 - 4A = 15(4A - I) - 4A = 60A - 15I - 4A = 56A - 15I$

$A^4 - 4A^3 + 2A = (56A - 15I) - 4(15A - 4I) + 2A = 56A - 15I - 60A + 16I + 2A = -2A + I = -2\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 & -2 \\ -6 & -4 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 & -2 \\ -6 & -3 \end{pmatrix}$

(3)

$(A+B)(A-B) = A^2 - AB + BA - B^2$

$A^2 = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4+3 & 2+2 \\ 6+6 & 3+4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 & 4 \\ 12 & 7 \end{pmatrix}$

$AB = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -2 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2-2 & 0-1 \\ 3-4 & 0-2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1 & -2 \end{pmatrix}$

$BA = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -2 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -4-3 & -2-2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -7 & -4 \end{pmatrix}$

$B^2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -2 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -2 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -2+2 & 0+1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = I$

$A^2 - AB + BA - B^2 = \begin{pmatrix} 7 & 4 \\ 12 & 7 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1 & -2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -7 & -4 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7-0+2-1 & 4+1+1-0 \\ 12+1-7-0 & 7+2-4-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 & 6 \\ 6 & 4 \end{pmatrix}$

(4)

$BX = A$

$B^{-1}BX = B^{-1}A$

$IX = B^{-1}A$

$X = B^{-1}A$

$\det B = 1 \times (-1) - 0 \times (-2) = -1$

$B^{-1} = \frac{1}{-1}\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -2 & -1 \end{pmatrix}$

$X = B^{-1}A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -2 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -4-3 & -2-2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -7 & -4 \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

(1) $\begin{pmatrix} 8 & 3 \\ 5 & 4 \end{pmatrix}$

(2) オ: 4, カ: 1, $\begin{pmatrix} -3 & -2 \\ -6 & -3 \end{pmatrix}$

(3) $\begin{pmatrix} 8 & 6 \\ 6 & 4 \end{pmatrix}$

(4) $\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -7 & -4 \end{pmatrix}$