画像には、以下の３つのグループの問題があります。 - 指数と累乗根の計算 - 累乗根の計算 - 指数関数の計算

はい、承知いたしました。画像にある数学の問題を解いていきます。

1. 問題の内容

画像には、以下の３つのグループの問題があります。

- 指数と累乗根の計算

- 累乗根の計算

- 指数関数の計算

2. 解き方の手順

各問題を順番に解いていきます。

**指数の計算:**

(1) $3^0 = 1$ (0乗は1)

(2) $(-2)^0 = 1$ (0乗は1)

(3) $3^{-2} = \frac{1}{3^2} = \frac{1}{9}$

**累乗根の計算:**

(4) $\sqrt[3]{64} = 4$ （$4^3=64$より）

(5) $\sqrt[3]{-64} = -4$ （$(-4)^3=-64$より）

(6) $\sqrt[4]{16} = 2$ ($2^4 = 16$より)

(7) $\sqrt[4]{81} = 3$ ($3^4 = 81$より)

(8) 10000の平方根 = $\sqrt{10000} = 100$

(9) 10000の4乗根 = $\sqrt[4]{10000} = 10$ ($10^4 = 10000$より)

**累乗根の計算 その2:**

(1) $\sqrt[3]{a} \times \sqrt[3]{a^5} = \sqrt[3]{a \times a^5} = \sqrt[3]{a^6} = a^{\frac{6}{3}} = a^2$

(2) $\sqrt[6]{a^4} \div \sqrt[6]{a^2} = \sqrt[6]{\frac{a^4}{a^2}} = \sqrt[6]{a^2} = a^{\frac{2}{6}} = a^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{a}$

(3) $\sqrt[3]{\sqrt{a^3}} \times \sqrt{a} = \sqrt[6]{a^3} \times \sqrt{a} = a^{\frac{3}{6}} \times a^{\frac{1}{2}} = a^{\frac{1}{2}} \times a^{\frac{1}{2}} = a^{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}} = a^1 = a$

(4) $\sqrt[6]{2^3} \times (\sqrt{2})^3 = 2^{\frac{3}{6}} \times 2^{\frac{3}{2}} = 2^{\frac{1}{2}} \times 2^{\frac{3}{2}} = 2^{\frac{1}{2}+\frac{3}{2}} = 2^{\frac{4}{2}} = 2^2 = 4$

(5) $\sqrt{81^3} \div \sqrt[3]{27^2} = (81^3)^{\frac{1}{2}} \div (27^2)^{\frac{1}{3}} = 81^{\frac{3}{2}} \div 27^{\frac{2}{3}} = (3^4)^{\frac{3}{2}} \div (3^3)^{\frac{2}{3}} = 3^6 \div 3^2 = 3^{6-2} = 3^4 = 81$

(6) $\sqrt[3]{9} \div \sqrt[3]{24^{-1}} = \sqrt[3]{9} \div \frac{1}{\sqrt[3]{24}} = \sqrt[3]{9} \times \sqrt[3]{24} = \sqrt[3]{9 \times 24} = \sqrt[3]{3^2 \times 2^3 \times 3} = \sqrt[3]{2^3 \times 3^3} = 2 \times 3 = 6$

**指数関数の計算:**

(1) $27^{\frac{2}{3}} = (3^3)^{\frac{2}{3}} = 3^2 = 9$

(2) $4^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{4^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{\sqrt{4}} = \frac{1}{2}$

(3) $16^{\frac{1}{4}} = (2^4)^{\frac{1}{4}} = 2^1 = 2$

(4) $8^{-\frac{2}{3}} = \frac{1}{8^{\frac{2}{3}}} = \frac{1}{(2^3)^{\frac{2}{3}}} = \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4}$

(5) $100^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{100^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{\sqrt{100}} = \frac{1}{10}$

(6) $10000^{-\frac{3}{4}} = \frac{1}{10000^{\frac{3}{4}}} = \frac{1}{(10^4)^{\frac{3}{4}}} = \frac{1}{10^3} = \frac{1}{1000}$

3. 最終的な答え

**指数の計算:**

(1) 1

(2) 1

(3) 1/9

**累乗根の計算:**

(4) 4

(5) -4

(6) 2

(7) 3

(8) 100

(9) 10

**累乗根の計算 その2:**

(1) $a^2$

(2) $\sqrt[3]{a}$

(3) $a$

(4) 4

(5) 81

(6) 6

**指数関数の計算:**

(1) 9

(2) 1/2

(3) 2

(4) 1/4

(5) 1/10

(6) 1/1000