与えられた置換を巡回置換の積で表す問題です。置換は以下のように与えられています。 (1) $ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 4 & 3 & 5 & 1 & 2 \end{pmatrix} $ (2) $ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 \\ 5 & 6 & 4 & 1 & 3 & 7 & 2 \end{pmatrix} $ (3) $ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\ 7 & 2 & 5 & 8 & 6 & 3 & 1 & 4 \end{pmatrix} $

以下に、与えられた置換を巡回置換の積で表した回答を示します。

1. 問題の内容

与えられた置換を巡回置換の積で表す問題です。置換は以下のように与えられています。

(1) $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 4 & 3 & 5 & 1 & 2 \end{pmatrix}$

(2) $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 \\ 5 & 6 & 4 & 1 & 3 & 7 & 2 \end{pmatrix}$

(3) $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\ 7 & 2 & 5 & 8 & 6 & 3 & 1 & 4 \end{pmatrix}$

2. 解き方の手順

置換を巡回置換の積で表すには、各要素がどのように移り変わるかを追跡します。

(1)

1 -> 4 -> 1 なので、(1 4)

2 -> 3 -> 5 -> 2 なので、(2 3 5)

よって、(1 4)(2 3 5)

(2)

1 -> 5 -> 3 -> 4 -> 1 なので、(1 5 3 4)

2 -> 6 -> 7 -> 2 なので、(2 6 7)

よって、(1 5 3 4)(2 6 7)

(3)

1 -> 7 -> 1 なので、(1 7)

2 -> 2 なので、巡回置換には含めない

3 -> 5 -> 6 -> 3 なので、(3 5 6)

4 -> 8 -> 4 なので、(4 8)

よって、(1 7)(3 5 6)(4 8)

3. 最終的な答え

(1) (1 4)(2 3 5)

(2) (1 5 3 4)(2 6 7)

(3) (1 7)(3 5 6)(4 8)