全体集合 $U$ を10より小さい自然数全体の集合とし、$A = \{2, 4, 6\}$、$B = \{1, 3, 4, 7\}$ とするとき、以下の集合を求める。 (1) $\overline{A}$ (2) $\overline{A \cap B}$ (3) $\overline{A \cup B}$ (4) $\overline{A \cap \overline{B}}$

1. 問題の内容

全体集合 $U$ を10より小さい自然数全体の集合とし、$A = \{2, 4, 6\}$、$B = \{1, 3, 4, 7\}$ とするとき、以下の集合を求める。

(1) $\overline{A}$

(2) $\overline{A \cap B}$

(3) $\overline{A \cup B}$

(4) $\overline{A \cap \overline{B}}$

2. 解き方の手順

まず、全体集合 $U$ を求めます。10より小さい自然数なので、$U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$ となります。

次に、それぞれの集合を求めます。

(1) $\overline{A}$ は $A$ の補集合なので、$U$ の要素のうち、$A$ に含まれない要素を集めた集合です。

$\overline{A} = \{1, 3, 5, 7, 8, 9\}$

(2) $A \cap B$ は $A$ と $B$ の共通部分なので、$A$ と $B$ の両方に含まれる要素を集めた集合です。

$A \cap B = \{4\}$

$\overline{A \cap B}$ は $A \cap B$ の補集合なので、$U$ の要素のうち、$A \cap B$ に含まれない要素を集めた集合です。

$\overline{A \cap B} = \{1, 2, 3, 5, 6, 7, 8, 9\}$

(3) $A \cup B$ は $A$ と $B$ の和集合なので、$A$ または $B$ に含まれる要素を集めた集合です。

$A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 6, 7\}$

$\overline{A \cup B}$ は $A \cup B$ の補集合なので、$U$ の要素のうち、$A \cup B$ に含まれない要素を集めた集合です。

$\overline{A \cup B} = \{5, 8, 9\}$

(4) $\overline{B}$ は $B$ の補集合なので、$U$ の要素のうち、$B$ に含まれない要素を集めた集合です。

$\overline{B} = \{2, 5, 6, 8, 9\}$

$A \cap \overline{B}$ は $A$ と $\overline{B}$ の共通部分なので、$A$ と $\overline{B}$ の両方に含まれる要素を集めた集合です。

$A \cap \overline{B} = \{2, 6\}$

$\overline{A \cap \overline{B}}$ は $A \cap \overline{B}$ の補集合なので、$U$ の要素のうち、$A \cap \overline{B}$ に含まれない要素を集めた集合です。

$\overline{A \cap \overline{B}} = \{1, 3, 4, 5, 7, 8, 9\}$

3. 最終的な答え

(1) $\overline{A} = \{1, 3, 5, 7, 8, 9\}$

(2) $\overline{A \cap B} = \{1, 2, 3, 5, 6, 7, 8, 9\}$

(3) $\overline{A \cup B} = \{5, 8, 9\}$

(4) $\overline{A \cap \overline{B}} = \{1, 3, 4, 5, 7, 8, 9\}$