$\frac{1}{\sin x} = \frac{\sin x}{1-\cos^2 x}$ であることを用いて、不定積分 $\int \frac{1}{\sin x} dx$ を求めよ。

1. 問題の内容

$\frac{1}{\sin x} = \frac{\sin x}{1-\cos^2 x}$ であることを用いて、不定積分 $\int \frac{1}{\sin x} dx$ を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた等式 $\frac{1}{\sin x} = \frac{\sin x}{1-\cos^2 x}$ を用いて積分を書き換えます。

$1 - \cos^2 x = \sin^2 x$ であるから、与えられた等式は $\frac{1}{\sin x} = \frac{\sin x}{\sin^2 x} = \frac{1}{\sin x}$ となり、自明な式です。

$\sin x$を分子に残す形に注目して、

$\int \frac{1}{\sin x} dx = \int \frac{\sin x}{\sin^2 x} dx = \int \frac{\sin x}{1-\cos^2 x} dx$

ここで、$t = \cos x$ と置換すると、$dt = -\sin x dx$ となります。

したがって、

$\int \frac{\sin x}{1-\cos^2 x} dx = \int \frac{-1}{1-t^2} dt = -\int \frac{1}{1-t^2} dt = \int \frac{1}{t^2-1} dt$

部分分数分解を用いて $\frac{1}{t^2-1} = \frac{1}{(t-1)(t+1)} = \frac{A}{t-1} + \frac{B}{t+1}$ と表すと、

$1 = A(t+1) + B(t-1)$ となる。

$t=1$ のとき、$1 = 2A \implies A = \frac{1}{2}$

$t=-1$ のとき、$1 = -2B \implies B = -\frac{1}{2}$

$\frac{1}{t^2-1} = \frac{1/2}{t-1} - \frac{1/2}{t+1} = \frac{1}{2}(\frac{1}{t-1} - \frac{1}{t+1})$

$\int \frac{1}{t^2-1} dt = \frac{1}{2} \int (\frac{1}{t-1} - \frac{1}{t+1}) dt = \frac{1}{2}(\ln |t-1| - \ln |t+1|) + C = \frac{1}{2} \ln |\frac{t-1}{t+1}| + C$

最後に、$t = \cos x$ を代入して、

$\int \frac{1}{\sin x} dx = \frac{1}{2} \ln |\frac{\cos x - 1}{\cos x + 1}| + C$

$\frac{\cos x - 1}{\cos x + 1} = \frac{(\cos x - 1)^2}{\cos^2 x - 1} = \frac{(\cos x - 1)^2}{-\sin^2 x}$

$\frac{\cos x - 1}{\cos x + 1} = \frac{-(1 - \cos x)^2}{\sin^2 x}$

$\ln |\frac{\cos x - 1}{\cos x + 1}| = \ln |\frac{(\cos x - 1)}{\sin x}|^2 = 2 \ln |\frac{\cos x - 1}{\sin x}|$

$\frac{1}{2} \ln |\frac{\cos x - 1}{\cos x + 1}| = \ln |\frac{\cos x - 1}{\sin x}| + C$

$\int \frac{1}{\sin x} dx = \ln |\frac{\cos x - 1}{\sin x}| + C = \ln |\frac{-\frac{1-\cos x}{1}\cdot\frac{1+\cos x}{1}}{\sin x \cdot (1+\cos x)}| = \ln |\frac{\sin^2 x}{sin x (1+\cos x)}|$

半角の公式を利用して、$\tan(\frac{x}{2})$ で表すこともできる。

$\frac{\cos x - 1}{\sin x} = \frac{\cos^2 \frac{x}{2} - \sin^2 \frac{x}{2} - (\sin^2 \frac{x}{2} + \cos^2 \frac{x}{2})}{2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}} = \frac{-2 \sin^2 \frac{x}{2}}{2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}} = -\tan \frac{x}{2}$

$\int \frac{1}{\sin x} dx = \ln |\tan \frac{x}{2}| + C$

3. 最終的な答え

$\int \frac{1}{\sin x} dx = \ln |\tan \frac{x}{2}| + C$