$\sqrt{12-6\sqrt{3}}$ を計算して、できるだけ簡単な形にしてください。

1. 問題の内容

$\sqrt{12-6\sqrt{3}}$ を計算して、できるだけ簡単な形にしてください。

2. 解き方の手順

二重根号を外すことを考えます。$\sqrt{A \pm \sqrt{B}}$ の形を $\sqrt{x} \pm \sqrt{y}$ の形に変形するには、$A = x+y$ かつ $B = 4xy$ となる $x, y$ を見つけます。

今回の問題では、$A=12$、$B = (6\sqrt{3})^2 = 36 \times 3 = 108$ となります。

$4xy = 108$ より、$xy = 27$ です。

$x+y = 12$ かつ $xy = 27$ を満たす $x, y$ を探します。

$y = 12-x$ を $xy=27$ に代入すると、

$x(12-x) = 27$

$12x - x^2 = 27$

$x^2 - 12x + 27 = 0$

$(x-3)(x-9) = 0$

よって、$x = 3$ または $x = 9$ です。

$x=3$ のとき $y = 9$、$x=9$ のとき $y=3$ となります。

$x$ と $y$ を入れ替えても結果は同じなので、$x=9$, $y=3$ とします。

したがって、

$\sqrt{12-6\sqrt{3}} = \sqrt{9} - \sqrt{3} = 3 - \sqrt{3}$

念のため確認します。

$(3-\sqrt{3})^2 = 3^2 - 2 \cdot 3 \cdot \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 = 9 - 6\sqrt{3} + 3 = 12 - 6\sqrt{3}$

よって、$\sqrt{12-6\sqrt{3}} = 3-\sqrt{3}$ です。

3. 最終的な答え

$3-\sqrt{3}$