## 1. 問題の内容

##

1. 問題の内容

次の4つの不定積分を求める問題です。

(1) $\int \frac{x-3}{x^2 - 1} dx$

(2) $\int \frac{\log(x+1)}{x^2} dx$

(3) $\int \sin(3x)\cos(2x) dx$

(4) $\int \cos^4(x) dx$

##

2. 解き方の手順

### (1) $\int \frac{x-3}{x^2 - 1} dx$

1. 部分分数分解を行います。$\frac{x-3}{x^2 - 1} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x+1}$ とおきます。

2. 両辺に $x^2-1 = (x-1)(x+1)$ をかけると $x - 3 = A(x+1) + B(x-1)$ となります。

3. $x=1$ を代入すると、$-2 = 2A$ より $A = -1$。

4. $x=-1$ を代入すると、$-4 = -2B$ より $B = 2$。

5. よって、$\frac{x-3}{x^2 - 1} = \frac{-1}{x-1} + \frac{2}{x+1}$ となります。

6. 積分を実行します。

$\int \frac{x-3}{x^2 - 1} dx = \int \left( \frac{-1}{x-1} + \frac{2}{x+1} \right) dx = -\int \frac{1}{x-1} dx + 2 \int \frac{1}{x+1} dx = -\log|x-1| + 2\log|x+1| + C$

### (2) $\int \frac{\log(x+1)}{x^2} dx$

1. 部分積分を行います。$u = \log(x+1)$, $dv = \frac{1}{x^2} dx$ とおきます。

2. $du = \frac{1}{x+1} dx$, $v = -\frac{1}{x}$ となります。

3. 部分積分の公式 $\int u dv = uv - \int v du$ を用いると、

$\int \frac{\log(x+1)}{x^2} dx = -\frac{\log(x+1)}{x} - \int -\frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x+1} dx = -\frac{\log(x+1)}{x} + \int \frac{1}{x(x+1)} dx$

4. $\frac{1}{x(x+1)}$ を部分分数分解します。$\frac{1}{x(x+1)} = \frac{C}{x} + \frac{D}{x+1}$ とおきます。

5. 両辺に $x(x+1)$ をかけると、 $1 = C(x+1) + Dx$ となります。

6. $x=0$ を代入すると、$1 = C$。

7. $x=-1$ を代入すると、$1 = -D$ より $D = -1$。

8. よって、$\frac{1}{x(x+1)} = \frac{1}{x} - \frac{1}{x+1}$ となります。

9. 積分を実行します。

$\int \frac{\log(x+1)}{x^2} dx = -\frac{\log(x+1)}{x} + \int \left( \frac{1}{x} - \frac{1}{x+1} \right) dx = -\frac{\log(x+1)}{x} + \log|x| - \log|x+1| + C$

### (3) $\int \sin(3x)\cos(2x) dx$

1. 三角関数の積和の公式 $\sin(A)\cos(B) = \frac{1}{2}[\sin(A+B) + \sin(A-B)]$ を用います。

2. $\sin(3x)\cos(2x) = \frac{1}{2}[\sin(5x) + \sin(x)]$ となります。

3. 積分を実行します。

$\int \sin(3x)\cos(2x) dx = \int \frac{1}{2}[\sin(5x) + \sin(x)] dx = \frac{1}{2} \int \sin(5x) dx + \frac{1}{2} \int \sin(x) dx = \frac{1}{2} \left( -\frac{1}{5}\cos(5x) - \cos(x) \right) + C = -\frac{1}{10}\cos(5x) - \frac{1}{2}\cos(x) + C$

### (4) $\int \cos^4(x) dx$

1. $\cos^2(x) = \frac{1 + \cos(2x)}{2}$ を用いて、$\cos^4(x) = (\cos^2(x))^2 = \left( \frac{1 + \cos(2x)}{2} \right)^2 = \frac{1 + 2\cos(2x) + \cos^2(2x)}{4}$ と変形します。

2. さらに $\cos^2(2x) = \frac{1 + \cos(4x)}{2}$ を用いると、

$\cos^4(x) = \frac{1}{4} \left( 1 + 2\cos(2x) + \frac{1 + \cos(4x)}{2} \right) = \frac{1}{4} \left( \frac{3}{2} + 2\cos(2x) + \frac{1}{2}\cos(4x) \right) = \frac{3}{8} + \frac{1}{2}\cos(2x) + \frac{1}{8}\cos(4x)$

3. 積分を実行します。

$\int \cos^4(x) dx = \int \left( \frac{3}{8} + \frac{1}{2}\cos(2x) + \frac{1}{8}\cos(4x) \right) dx = \frac{3}{8}x + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}\sin(2x) + \frac{1}{8} \cdot \frac{1}{4}\sin(4x) + C = \frac{3}{8}x + \frac{1}{4}\sin(2x) + \frac{1}{32}\sin(4x) + C$

##

3. 最終的な答え

(1) $\int \frac{x-3}{x^2 - 1} dx = -\log|x-1| + 2\log|x+1| + C$

(2) $\int \frac{\log(x+1)}{x^2} dx = -\frac{\log(x+1)}{x} + \log|x| - \log|x+1| + C$

(3) $\int \sin(3x)\cos(2x) dx = -\frac{1}{10}\cos(5x) - \frac{1}{2}\cos(x) + C$

(4) $\int \cos^4(x) dx = \frac{3}{8}x + \frac{1}{4}\sin(2x) + \frac{1}{32}\sin(4x) + C$