無限等比数列 $x, x(3-x), x(3-x)^2, \dots$ が収束するような $x$ の値の範囲を求め、そのときの極限値を求める問題です。

1. 問題の内容

無限等比数列 $x, x(3-x), x(3-x)^2, \dots$ が収束するような $x$ の値の範囲を求め、そのときの極限値を求める問題です。

2. 解き方の手順

無限等比数列 $ar^{n-1}$ が収束するための条件は、

1. $a = 0$

2. $-1 < r \le 1$

のいずれかを満たすことです。

この数列の場合、$a = x$、$r = 3-x$ です。

まず、$a = x = 0$ のとき、数列は $0, 0, 0, \dots$ となり、収束します。極限値は $0$ です。

次に、$-1 < r \le 1$ のときを考えます。

$-1 < 3 - x \le 1$

この不等式を解きます。

まず、$3 - x \le 1$ より、

$-x \le -2$

$x \ge 2$

次に、$-1 < 3 - x$ より、

$x < 4$

したがって、$2 \le x < 4$

このとき、数列の極限値は、

$\lim_{n \to \infty} x(3-x)^{n-1} = 0$

となります。(なぜなら $x \neq 0$のとき $r=3-x$で$|r|<1$ より $\lim_{n \to \infty} r^{n-1} = 0$ になるからです。)

まとめると、$x = 0$ または $2 \le x < 4$ のとき、数列は収束します。

$x=0$のとき、極限値は$0$です。

$2 \le x < 4$のとき、極限値は$0$です。

3. 最終的な答え

数列が収束する $x$ の範囲は $0 \le x < 4$ です。

そのときの極限値は $0$ です。