与えられた無限和 $S$ の値を求めます。ここで、 $S = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n (2n-1)!!}{(2n+1)(2n)!!} \left( \frac{1}{8} \right)^n$ であり、$k!!$ は $k$ の二重階乗を表します。

1. 問題の内容

与えられた無限和 $S$ の値を求めます。ここで、

$S = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n (2n-1)!!}{(2n+1)(2n)!!} \left( \frac{1}{8} \right)^n$

であり、$k!!$ は $k$ の二重階乗を表します。

2. 解き方の手順

まず、二重階乗を通常の階乗で表します。

$(2n-1)!! = \frac{(2n)!}{2^n n!}$

$(2n)!! = 2^n n!$

これらを $S$ の式に代入すると、

$S = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n \frac{(2n)!}{2^n n!}}{(2n+1)(2^n n!)} \left( \frac{1}{8} \right)^n$

$S = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n (2n)!}{(2n+1) (2^n n!)^2} \left( \frac{1}{8} \right)^n$

$S = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n (2n)!}{(2n+1) 4^n (n!)^2} \left( \frac{1}{8} \right)^n$

$S = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n (2n)!}{(2n+1) (n!)^2} \left( \frac{1}{32} \right)^n$

$S = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{2n+1} \binom{2n}{n} \left( -\frac{1}{32} \right)^n$

ここで、$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \binom{2n}{n} x^n = \frac{1}{\sqrt{1-4x}}$ を用います。

$g(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{2n+1} \binom{2n}{n} x^n$ を求めます。

$\frac{d}{dx} x g(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \binom{2n}{n} x^{n} = \frac{1}{\sqrt{1-4x}}$

$x g(x) = \int \frac{1}{\sqrt{1-4x}} dx = -\frac{1}{2} \sqrt{1-4x} + C$

$g(0) = 1$ より、$0 = -\frac{1}{2} + C$, よって $C = \frac{1}{2}$

$x g(x) = \frac{1}{2} (1 - \sqrt{1-4x})$

$g(x) = \frac{1 - \sqrt{1-4x}}{2x}$

$S = g\left(-\frac{1}{32}\right) = \frac{1 - \sqrt{1 + \frac{1}{8}}}{- \frac{1}{16}} = \frac{1 - \sqrt{\frac{9}{8}}}{-\frac{1}{16}} = \frac{1 - \frac{3}{2\sqrt{2}}}{-\frac{1}{16}} = -16 \left(1 - \frac{3\sqrt{2}}{4} \right) = -16 + 12 \sqrt{2}$

最終的に$S$を求めると、

$S = \frac{1 - \sqrt{1 - 4(-\frac{1}{32})}}{2(-\frac{1}{32})} = \frac{1 - \sqrt{1 + \frac{1}{8}}}{-\frac{1}{16}} = \frac{1 - \sqrt{\frac{9}{8}}}{-\frac{1}{16}} = \frac{1 - \frac{3}{2\sqrt{2}}}{-\frac{1}{16}} = -16(1 - \frac{3\sqrt{2}}{4}) = 12\sqrt{2} - 16$

3. 最終的な答え

$12\sqrt{2} - 16$