全体集合 $U$ を実数全体とする。集合 $A = \{x | -1 < x < 5\}$、 $B = \{x | x \le 2\}$ が与えられたとき、以下の集合を求める。 (1) $A \cap B$ (2) $A \cup B$ (3) $\overline{A \cap B}$ (4) $\overline{A \cup B}$

1. 問題の内容

全体集合 $U$ を実数全体とする。集合 $A = \{x | -1 < x < 5\}$、 $B = \{x | x \le 2\}$ が与えられたとき、以下の集合を求める。

(1) $A \cap B$

(2) $A \cup B$

(3) $\overline{A \cap B}$

(4) $\overline{A \cup B}$

2. 解き方の手順

(1) $A \cap B$ は、$A$ と $B$ の共通部分である。

$A = \{x | -1 < x < 5\}$、 $B = \{x | x \le 2\}$ より、

$A \cap B = \{x | -1 < x \le 2\}$

(2) $A \cup B$ は、$A$ と $B$ の和集合である。

$A = \{x | -1 < x < 5\}$、 $B = \{x | x \le 2\}$ より、

$A \cup B = \{x | -1 < x < 5\} \cup \{x | x \le 2\} = \{x | x < 5\}$

(3) $\overline{A \cap B}$ は、$A \cap B$ の補集合である。

$A \cap B = \{x | -1 < x \le 2\}$ より、

$\overline{A \cap B} = \{x | x \le -1 \text{ or } x > 2\}$

(4) $\overline{A \cup B}$ は、$A \cup B$ の補集合である。

$A \cup B = \{x | x < 5\}$ より、

$\overline{A \cup B} = \{x | x \ge 5\}$

3. 最終的な答え

(1) $A \cap B = \{x | -1 < x \le 2\}$

(2) $A \cup B = \{x | x < 5\}$

(3) $\overline{A \cap B} = \{x | x \le -1 \text{ or } x > 2\}$

(4) $\overline{A \cup B} = \{x | x \ge 5\}$