$\frac{1}{(\sqrt{2})^{25}}$ を小数で表したとき、小数第何位に初めて0でない数字が現れるかを求める問題です。ただし、$\log_{10}2 = 0.3010$ とします。

1. 問題の内容

$\frac{1}{(\sqrt{2})^{25}}$ を小数で表したとき、小数第何位に初めて0でない数字が現れるかを求める問題です。ただし、$\log_{10}2 = 0.3010$ とします。

2. 解き方の手順

まず、与えられた式を整理します。

$\frac{1}{(\sqrt{2})^{25}} = \frac{1}{(2^{1/2})^{25}} = \frac{1}{2^{25/2}} = 2^{-25/2}$

次に、この数の常用対数を計算します。

$\log_{10}(2^{-25/2}) = -\frac{25}{2} \log_{10}2$

$\log_{10}(2^{-25/2}) = -\frac{25}{2} \times 0.3010 = -25 \times 0.1505 = -3.7625$

この値は、ある整数 $n$ に対して $-n + r$ ($0 \le r < 1$) の形になります。

整数部分 $-n$ は、小数第 $n$ 位に初めて0でない数字が現れることを意味します。

$-3.7625 = -4 + 0.2375$ なので、$n=4$ です。

3. 最終的な答え

小数第4位