半径1の球Aに半径$r$ ($0 < r < 1$)の半球面Bをかぶせた立体を考える。この立体の体積が最大となるような$r$の値を求めよ。

1. 問題の内容

半径1の球Aに半径$r$ ($0 < r < 1$)の半球面Bをかぶせた立体を考える。この立体の体積が最大となるような$r$の値を求めよ。

2. 解き方の手順

1. 球Aの体積$V_A$を求める。

2. 半球面Bの体積$V_B$を求める。

3. 球Aと半球面Bの共通部分の体積$V_{共通}$を求める。この共通部分は、球Aの中心から距離$1$の平面で切られた球のキャップに相当する。

4. 立体の体積$V$を、$V = V_A + V_B - V_{共通}$として求める。

5. $V$を$r$で微分し、$dV/dr = 0$となる$r$を求める。

6. 求めた$r$が$0 < r < 1$を満たすことを確認する。

球Aの体積$V_A$は、半径1なので、

$V_A = \frac{4}{3} \pi (1)^3 = \frac{4}{3} \pi$

半球面Bの体積$V_B$は、半径$r$の半球なので、

$V_B = \frac{1}{2} \times \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{2}{3} \pi r^3$

共通部分の体積$V_{共通}$を求める。球Aの中心から距離$1-r$の位置で切断された球のキャップの体積は、

$V_{共通} = \frac{\pi}{3} (1-r)^2 (3 - (1-r)) = \frac{\pi}{3} (1-r)^2 (2+r) = \frac{\pi}{3} (1 - 2r + r^2)(2+r) = \frac{\pi}{3} (2 - 4r + 2r^2 + r - 2r^2 + r^3) = \frac{\pi}{3} (2 - 3r + r^3)$

したがって、立体の体積$V$は、

$V = V_A + V_B - V_{共通} = \frac{4}{3} \pi + \frac{2}{3} \pi r^3 - \frac{\pi}{3} (2 - 3r + r^3) = \frac{\pi}{3} (4 + 2r^3 - 2 + 3r - r^3) = \frac{\pi}{3} (2 + 3r + r^3)$

$V$を$r$で微分すると、

$\frac{dV}{dr} = \frac{\pi}{3} (3 + 3r^2) = \pi (1 + r^2)$

しかし、これは常に正であり、極値を持たない。

問題文にある図を考慮すると、半球面Bの中心は球Aの表面にあり、共通部分は、$1-(1-r)=r$で切断された球Aのキャップの体積であるべきである。従って、

$V_{共通} = \frac{\pi}{3} r^2 (3 - r)$

$V = \frac{4}{3} \pi + \frac{2}{3} \pi r^3 - \frac{\pi}{3} (3r^2 - r^3) = \frac{\pi}{3} (4 + 2r^3 - 3r^2 + r^3) = \frac{\pi}{3} (4 - 3r^2 + 3r^3)$

$\frac{dV}{dr} = \frac{\pi}{3} (-6r + 9r^2) = \pi (-2r + 3r^2) = \pi r (-2 + 3r)$

$\frac{dV}{dr} = 0$となるのは、$r = 0$または$r = \frac{2}{3}$のとき。

$r = 0$のときは最小値なので、$r = \frac{2}{3}$が最大値を与える。

$0 < r < 1$を満たすので、$r = \frac{2}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{2}{3}$