与えられた関数 $y = 4\sin x \cos x - 2\cos^2 x$ を変形し、$\sin \alpha$ と $\cos \alpha$ の値を求め、最終的にグラフの概形を選択する問題です。

1. 問題の内容

与えられた関数 $y = 4\sin x \cos x - 2\cos^2 x$ を変形し、$\sin \alpha$ と $\cos \alpha$ の値を求め、最終的にグラフの概形を選択する問題です。

2. 解き方の手順

まず、$y = 4\sin x \cos x - 2\cos^2 x$ を変形します。

$y = 2(2\sin x \cos x) - 2\cos^2 x$

$y = 2\sin 2x - 2\cos^2 x$

$y = 2\sin 2x - (1 + \cos 2x)$

$y = 2\sin 2x - \cos 2x - 1$

ここで、$r\sin(2x + \alpha) = 2\sin 2x - \cos 2x$ となるような $r$ と $\alpha$ を見つけます。

$r\sin(2x + \alpha) = r(\sin 2x \cos \alpha + \cos 2x \sin \alpha) = (r\cos \alpha)\sin 2x + (r\sin \alpha)\cos 2x$

係数を比較すると、

$r\cos \alpha = 2$

$r\sin \alpha = -1$

これらの式から $r$ を求めます。

$r^2\cos^2 \alpha + r^2\sin^2 \alpha = 2^2 + (-1)^2$

$r^2(\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha) = 4 + 1$

$r^2 = 5$

$r = \sqrt{5}$

したがって、$y = \sqrt{5}\sin(2x + \alpha) - 1$ となります。

ただし、

$\sin \alpha = \frac{-1}{\sqrt{5}}$

$\cos \alpha = \frac{2}{\sqrt{5}}$

$y = 2\sin 2x - \cos 2x - 1$ のグラフは、$y = \sin 2x$ のグラフを $x$ 軸方向に $-\alpha/2$ だけ平行移動し、$y$ 軸方向に2倍して、$y = \cos 2x$ のグラフを反転させて引いて、$y$ 軸方向に-1だけ平行移動したグラフになります。

$2\sin2x$ の周期は $\pi$ で、 $-\cos2x$ の周期も $\pi$ なので、それらの組み合わせである $2\sin2x - \cos2x$ の周期も $\pi$ です。$2\sin2x - \cos2x - 1$ も同様に周期は $\pi$ です。

さらに、$\sin \alpha < 0$ であり、$\cos \alpha > 0$ なので、$\alpha$ は第4象限の角です。

振幅は $\sqrt{2^2+(-1)^2} = \sqrt{5}$ となるので、$\sqrt{5} \approx 2.236$ です。

$y = 2\sin 2x - \cos 2x - 1$ の概形は、周期が $\pi$ で、$y$ 軸方向に -1 だけ平行移動されたグラフなので、概形は③であると考えられます。

3. 最終的な答え

シス: -1

セ: $\sqrt{5}$

ク: 2x

タ: ③