与えられた定積分を計算します。 (1) $\int_{1}^{4} |x^3 - 9x| dx$ (2) $\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} |\sin{\theta}| d\theta$ (3) $\int_{-4}^{5} |\sqrt{x+4} - 2| dx$ (4) $\int_{0}^{2} |e^x - e| dx$

1. 問題の内容

与えられた定積分を計算します。

(1) $\int_{1}^{4} |x^3 - 9x| dx$

(2) $\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} |\sin{\theta}| d\theta$

(3) $\int_{-4}^{5} |\sqrt{x+4} - 2| dx$

(4) $\int_{0}^{2} |e^x - e| dx$

2. 解き方の手順

(1)

まず、$x^3-9x = x(x^2-9) = x(x-3)(x+3)$ であるから、$1 \le x \le 4$ において、$1 \le x \le 3$ のとき $x^3 - 9x \le 0$、$3 \le x \le 4$ のとき $x^3 - 9x \ge 0$ である。

したがって、

$\int_{1}^{4} |x^3 - 9x| dx = \int_{1}^{3} (9x - x^3) dx + \int_{3}^{4} (x^3 - 9x) dx$

$= [\frac{9}{2}x^2 - \frac{1}{4}x^4]_1^3 + [\frac{1}{4}x^4 - \frac{9}{2}x^2]_3^4$

$= (\frac{9}{2}(3^2-1^2) - \frac{1}{4}(3^4-1^4)) + (\frac{1}{4}(4^4-3^4) - \frac{9}{2}(4^2-3^2))$

$= (\frac{9}{2}(8) - \frac{1}{4}(80)) + (\frac{1}{4}(256-81) - \frac{9}{2}(16-9))$

$= 36 - 20 + \frac{175}{4} - \frac{63}{2}$

$= 16 + \frac{175 - 126}{4}$

$= 16 + \frac{49}{4} = \frac{64 + 49}{4} = \frac{113}{4}$

(2)

$\sin{\theta}$ の符号は、$-\frac{\pi}{4} \le \theta \le 0$ のとき $\sin{\theta} \le 0$、$0 \le \theta \le \frac{\pi}{4}$ のとき $\sin{\theta} \ge 0$ である。

$\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} |\sin{\theta}| d\theta = \int_{-\frac{\pi}{4}}^{0} (-\sin{\theta}) d\theta + \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \sin{\theta} d\theta$

$= [\cos{\theta}]_{-\frac{\pi}{4}}^{0} + [-\cos{\theta}]_{0}^{\frac{\pi}{4}}$

$= (\cos{0} - \cos{(-\frac{\pi}{4})}) + (-\cos{\frac{\pi}{4}} + \cos{0})$

$= (1 - \frac{\sqrt{2}}{2}) + (-\frac{\sqrt{2}}{2} + 1) = 2 - \sqrt{2}$

(3)

$\sqrt{x+4}-2=0$ のとき $\sqrt{x+4}=2$, $x+4=4$, $x=0$.

$-4 \le x \le 0$ のとき $\sqrt{x+4} - 2 \le 0$、$0 \le x \le 5$ のとき $\sqrt{x+4} - 2 \ge 0$

$\int_{-4}^{5} |\sqrt{x+4} - 2| dx = \int_{-4}^{0} (2 - \sqrt{x+4}) dx + \int_{0}^{5} (\sqrt{x+4} - 2) dx$

$= [2x - \frac{2}{3}(x+4)^{\frac{3}{2}}]_{-4}^{0} + [\frac{2}{3}(x+4)^{\frac{3}{2}} - 2x]_{0}^{5}$

$= (2(0) - \frac{2}{3}(4)^{\frac{3}{2}}) - (2(-4) - \frac{2}{3}(0)^{\frac{3}{2}}) + (\frac{2}{3}(9)^{\frac{3}{2}} - 2(5)) - (\frac{2}{3}(4)^{\frac{3}{2}} - 2(0))$

$= -\frac{2}{3}(8) - (-8 - 0) + (\frac{2}{3}(27) - 10) - (\frac{2}{3}(8))$

$= -\frac{16}{3} + 8 + 18 - 10 - \frac{16}{3}$

$= 8 + 8 - \frac{32}{3}$

$= 16 - \frac{32}{3} = \frac{48-32}{3} = \frac{16}{3}$

(4)

$e^x - e = 0$ のとき $e^x = e$, $x = 1$.

$0 \le x \le 1$ のとき $e^x - e \le 0$、$1 \le x \le 2$ のとき $e^x - e \ge 0$

$\int_{0}^{2} |e^x - e| dx = \int_{0}^{1} (e - e^x) dx + \int_{1}^{2} (e^x - e) dx$

$= [ex - e^x]_0^1 + [e^x - ex]_1^2$

$= (e(1) - e^1) - (e(0) - e^0) + (e^2 - e(2)) - (e^1 - e(1))$

$= (e - e) - (0 - 1) + (e^2 - 2e) - (e - e)$

$= 0 + 1 + e^2 - 2e - 0$

$= e^2 - 2e + 1 = (e-1)^2$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{113}{4}$

(2) $2 - \sqrt{2}$

(3) $\frac{16}{3}$

(4) $(e-1)^2$