3次曲線 $y = ax^3 + bx^2 + cx + d$ が、$x=2$ で $x$ 軸に接し、原点における接線の方程式が $y = -2x$ であるとき、定数 $a, b, c, d$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

3次曲線 $y = ax^3 + bx^2 + cx + d$ が、$x=2$ で $x$ 軸に接し、原点における接線の方程式が $y = -2x$ であるとき、定数 $a, b, c, d$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) $x=2$ で $x$ 軸に接することから、$y(2) = 0$ と $y'(2) = 0$ が成り立ちます。

(2) 原点における接線が $y = -2x$ であることから、$y(0) = 0$ と $y'(0) = -2$ が成り立ちます。

(3) (1), (2) の条件から得られる連立方程式を解いて、$a, b, c, d$ の値を求めます。

まず、$y = ax^3 + bx^2 + cx + d$ を微分します。

$y' = 3ax^2 + 2bx + c$

$y(0) = 0$ より、$a(0)^3 + b(0)^2 + c(0) + d = 0$ なので、$d = 0$。

$y'(0) = -2$ より、$3a(0)^2 + 2b(0) + c = -2$ なので、$c = -2$。

$y(2) = 0$ より、$8a + 4b + 2c + d = 0$。$c = -2$, $d = 0$ を代入して、$8a + 4b - 4 = 0$。よって、$2a + b = 1$。

$y'(2) = 0$ より、$12a + 4b + c = 0$。$c = -2$ を代入して、$12a + 4b - 2 = 0$。よって、$6a + 2b = 1$。

連立方程式

$2a + b = 1$

$6a + 2b = 1$

を解きます。

$b = 1 - 2a$ を $6a + 2b = 1$ に代入すると、$6a + 2(1 - 2a) = 1$。

$6a + 2 - 4a = 1$

$2a = -1$

$a = -\frac{1}{2}$

$b = 1 - 2a = 1 - 2(-\frac{1}{2}) = 1 + 1 = 2$

したがって、$a = -\frac{1}{2}$, $b = 2$, $c = -2$, $d = 0$

3. 最終的な答え

$a = -\frac{1}{2}$

$b = 2$

$c = -2$

$d = 0$