与えられた不定積分 $\int (x^2-1)^4 x^2 dx$ を計算します。

1. 問題の内容

与えられた不定積分 $\int (x^2-1)^4 x^2 dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、$(x^2 - 1)^4$ を展開します。

$(x^2 - 1)^4 = (x^2 - 1)^2(x^2 - 1)^2 = (x^4 - 2x^2 + 1)(x^4 - 2x^2 + 1) = x^8 - 4x^6 + 6x^4 - 4x^2 + 1$

次に、この結果に $x^2$ を掛けます。

$(x^2 - 1)^4 x^2 = (x^8 - 4x^6 + 6x^4 - 4x^2 + 1)x^2 = x^{10} - 4x^8 + 6x^6 - 4x^4 + x^2$

最後に、この式を積分します。

$\int (x^{10} - 4x^8 + 6x^6 - 4x^4 + x^2) dx = \frac{x^{11}}{11} - \frac{4x^9}{9} + \frac{6x^7}{7} - \frac{4x^5}{5} + \frac{x^3}{3} + C$

ここで、$C$ は積分定数です。

3. 最終的な答え

$\frac{x^{11}}{11} - \frac{4x^9}{9} + \frac{6x^7}{7} - \frac{4x^5}{5} + \frac{x^3}{3} + C$