以下の3つの問題があります。 1. 関数 $f(x) = x^2 - 5$ について、 (a) $F'(x) = f(x)$ となる関数 $F(x)$ を求めよ。 (b) 定積分 $\int_{0}^{1} f(x) dx$ を求めよ。

はい、承知いたしました。画像にある数学の問題を解きます。

1. 問題の内容

以下の3つの問題があります。

1. 関数 $f(x) = x^2 - 5$ について、

(a) $F'(x) = f(x)$ となる関数 $F(x)$ を求めよ。

(b) 定積分 $\int_{0}^{1} f(x) dx$ を求めよ。

2. 関数 $f(x) = x^3 + 3x^2 + 1$ について、

(a) $F'(x) = f(x)$ となる関数 $F(x)$ を求めよ。

(b) 定積分 $\int_{0}^{2} f(x) dx$ を求めよ。

3. 定積分 $\int_{0}^{4} (x+1)^2 dx + \int_{0}^{4} (x-1)^2 dx$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

問題1:

(a) $F'(x) = f(x) = x^2 - 5$ を満たす $F(x)$ を求めるには、$f(x)$ の不定積分を計算します。

$F(x) = \int (x^2 - 5) dx = \frac{1}{3}x^3 - 5x + C$ (Cは積分定数)

(b) 定積分 $\int_{0}^{1} f(x) dx = \int_{0}^{1} (x^2 - 5) dx$ を計算します。

$F(x) = \frac{1}{3}x^3 - 5x$ とすると、

$\int_{0}^{1} (x^2 - 5) dx = F(1) - F(0) = (\frac{1}{3}(1)^3 - 5(1)) - (\frac{1}{3}(0)^3 - 5(0)) = \frac{1}{3} - 5 = \frac{1}{3} - \frac{15}{3} = -\frac{14}{3}$

問題2:

(a) $F'(x) = f(x) = x^3 + 3x^2 + 1$ を満たす $F(x)$ を求めるには、$f(x)$ の不定積分を計算します。

$F(x) = \int (x^3 + 3x^2 + 1) dx = \frac{1}{4}x^4 + x^3 + x + C$ (Cは積分定数)

(b) 定積分 $\int_{0}^{2} f(x) dx = \int_{0}^{2} (x^3 + 3x^2 + 1) dx$ を計算します。

$F(x) = \frac{1}{4}x^4 + x^3 + x$ とすると、

$\int_{0}^{2} (x^3 + 3x^2 + 1) dx = F(2) - F(0) = (\frac{1}{4}(2)^4 + (2)^3 + (2)) - (\frac{1}{4}(0)^4 + (0)^3 + (0)) = \frac{16}{4} + 8 + 2 = 4 + 8 + 2 = 14$

問題3:

定積分 $\int_{0}^{4} (x+1)^2 dx + \int_{0}^{4} (x-1)^2 dx$ を計算します。

まず、それぞれの積分を展開します。

$\int_{0}^{4} (x^2 + 2x + 1) dx + \int_{0}^{4} (x^2 - 2x + 1) dx$

積分をまとめます。

$\int_{0}^{4} (x^2 + 2x + 1 + x^2 - 2x + 1) dx = \int_{0}^{4} (2x^2 + 2) dx$

$F(x) = \frac{2}{3}x^3 + 2x$ とすると、

$\int_{0}^{4} (2x^2 + 2) dx = F(4) - F(0) = (\frac{2}{3}(4)^3 + 2(4)) - (\frac{2}{3}(0)^3 + 2(0)) = \frac{2}{3}(64) + 8 = \frac{128}{3} + \frac{24}{3} = \frac{152}{3}$

3. 最終的な答え

問題1:

(a) $F(x) = \frac{1}{3}x^3 - 5x + C$

(b) $-\frac{14}{3}$

問題2:

(a) $F(x) = \frac{1}{4}x^4 + x^3 + x + C$

(b) $14$

問題3:

$\frac{152}{3}$