$y = \sqrt{x}e^{-x}$ ($x \geq 0$)と、$x$軸、$x=a$、$x=a+\log 2$で囲まれた領域$D$を$x$軸周りに回転させてできる立体の体積$V(a)$を求め、その最大値を求める問題。 (1) 不定積分 $\int xe^{kx} dx$ を求める。 (2) $V(a)$を求める。 (3) $a$が正の数全体を動くとき、$V(a)$の最大値を求める。

1. 問題の内容

$y = \sqrt{x}e^{-x}$ ($x \geq 0$)と、$x$軸、$x=a$、$x=a+\log 2$で囲まれた領域$D$を$x$軸周りに回転させてできる立体の体積$V(a)$を求め、その最大値を求める問題。

(1) 不定積分 $\int xe^{kx} dx$ を求める。

(2) $V(a)$を求める。

(3) $a$が正の数全体を動くとき、$V(a)$の最大値を求める。

2. 解き方の手順

(1) 不定積分 $\int xe^{kx} dx$ を部分積分で求める。

$u = x$, $dv = e^{kx} dx$ とすると、$du = dx$, $v = \frac{1}{k}e^{kx}$ であるから、

$$\int xe^{kx} dx = \frac{x}{k}e^{kx} - \int \frac{1}{k}e^{kx} dx = \frac{x}{k}e^{kx} - \frac{1}{k^2}e^{kx} + C = \frac{1}{k^2}e^{kx}(kx - 1) + C$$

(2) $V(a)$を求める。$y = \sqrt{x}e^{-x}$ を$x$軸周りに回転させた立体の体積は、

$$V(a) = \pi \int_a^{a+\log 2} (\sqrt{x}e^{-x})^2 dx = \pi \int_a^{a+\log 2} xe^{-2x} dx$$

(1)の結果より、$k = -2$として、

$$V(a) = \pi \left[ \frac{1}{4}e^{-2x}(-2x - 1) \right]_a^{a+\log 2} = \frac{\pi}{4} \left[ e^{-2x}(-2x - 1) \right]_{a+\log 2}^a$$

$$V(a) = \frac{\pi}{4} \left[ e^{-2a}(-2a - 1) - e^{-2(a+\log 2)}(-2(a+\log 2) - 1) \right]$$

$$V(a) = \frac{\pi}{4} \left[ e^{-2a}(-2a - 1) - e^{-2a-2\log 2}(-2a - 2\log 2 - 1) \right]$$

$$V(a) = \frac{\pi}{4} e^{-2a} \left[ -2a - 1 - e^{-2\log 2}(-2a - 2\log 2 - 1) \right]$$

$$V(a) = \frac{\pi}{4} e^{-2a} \left[ -2a - 1 - \frac{1}{4}(-2a - 2\log 2 - 1) \right]$$

$$V(a) = \frac{\pi}{4} e^{-2a} \left[ -2a - 1 + \frac{1}{2}a + \frac{1}{2}\log 2 + \frac{1}{4} \right]$$

$$V(a) = \frac{\pi}{4} e^{-2a} \left[ -\frac{3}{2}a + \frac{1}{2}\log 2 - \frac{3}{4} \right]$$

$$V(a) = \frac{\pi}{8} e^{-2a} \left[ -3a + \log 2 - \frac{3}{2} \right]$$

(3) $V(a)$の最大値を求める。$V'(a) = 0$となる$a$を求める。

$$V'(a) = \frac{\pi}{8} \left( -2e^{-2a} \left( -3a + \log 2 - \frac{3}{2} \right) + e^{-2a} (-3) \right)$$

$$V'(a) = \frac{\pi}{8} e^{-2a} \left( 6a - 2\log 2 + 3 - 3 \right) = \frac{3\pi}{8} e^{-2a} (2a - \frac{2}{3}\log 2)$$

$V'(a) = 0$ より、$2a - \frac{2}{3}\log 2 = 0$, よって、$a = \frac{1}{3}\log 2$

$a < \frac{1}{3} \log 2$ のとき $V'(a) < 0$ であり、$a > \frac{1}{3} \log 2$ のとき $V'(a) > 0$ なので、$a = \frac{1}{3} \log 2$ で$V(a)$は最小値を取る。

$a$ が正の範囲で$V(a)$は$a$が大きくなるほど小さくなるので、$a$が正の数全体を動くとき、$V(a)$に最大値は存在しない。

計算間違いがあったようなので修正

$$V'(a) = \frac{\pi}{8} \left(-2e^{-2a}\left(-3a + \log 2 - \frac{3}{2}\right) + e^{-2a}(-3)\right)$$

$$= \frac{\pi}{8}e^{-2a}\left(6a - 2\log 2 + 3 - 3\right) = \frac{\pi}{8}e^{-2a}(6a - 2\log 2)$$

$$= \frac{\pi}{4}e^{-2a}(3a - \log 2)$$

$V'(a) = 0$ となるのは $a = \frac{1}{3}\log 2$ のとき。

$a < \frac{1}{3}\log 2$ のとき $V'(a) < 0$、 $a > \frac{1}{3}\log 2$ のとき $V'(a) > 0$ より、$a = \frac{1}{3}\log 2$ で最小値をとる。

$a \to 0$ のとき $V(a)$ は最大になるので、$a \to 0$ で最大値をとる。

$\lim_{a \to 0} V(a) = \frac{\pi}{8} \left(\log 2 - \frac{3}{2}\right)$

3. 最終的な答え

(1) $\int xe^{kx} dx = \frac{1}{k^2}e^{kx}(kx - 1) + C$

(2) $V(a) = \frac{\pi}{8} e^{-2a} \left( -3a + \log 2 - \frac{3}{2} \right)$

(3) $\frac{\pi}{8} \left(\log 2 - \frac{3}{2}\right)$