与えられた2変数関数 $f(x,y) = x^3 + x^2y + y^2 + 2y$ の極値を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた2変数関数 $f(x,y) = x^3 + x^2y + y^2 + 2y$ の極値を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) 偏微分を計算する。

$f_x = \frac{\partial f}{\partial x} = 3x^2 + 2xy$

$f_y = \frac{\partial f}{\partial y} = x^2 + 2y + 2$

(2) 連立方程式 $f_x = 0$ かつ $f_y = 0$ を解き、停留点を求める。

$3x^2 + 2xy = 0$ ...(1)

$x^2 + 2y + 2 = 0$ ...(2)

(1)より、$x(3x + 2y) = 0$。よって、$x=0$ または $3x + 2y = 0$。

(i) $x = 0$ のとき、(2)より、$2y+2 = 0 \implies y = -1$。

したがって、停留点 $(0, -1)$ を得る。

(ii) $3x + 2y = 0 \implies y = -\frac{3}{2}x$ のとき、(2)に代入して、

$x^2 + 2(-\frac{3}{2}x) + 2 = 0$

$x^2 - 3x + 2 = 0$

$(x-1)(x-2) = 0$

$x = 1$ または $x = 2$。

$x = 1$ のとき、$y = -\frac{3}{2}(1) = -\frac{3}{2}$。

したがって、停留点 $(1, -\frac{3}{2})$ を得る。

$x = 2$ のとき、$y = -\frac{3}{2}(2) = -3$。

したがって、停留点 $(2, -3)$ を得る。

よって、停留点は $(0, -1), (1, -\frac{3}{2}), (2, -3)$ の3点である。

(3) 2階偏微分を計算する。

$f_{xx} = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = 6x + 2y$

$f_{yy} = \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = 2$

$f_{xy} = \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = 2x$

(4) ヘッセ行列式 $D = f_{xx}f_{yy} - (f_{xy})^2$ を計算し、極値を判定する。

$D = (6x+2y)(2) - (2x)^2 = 12x + 4y - 4x^2$

(i) $(0, -1)$ のとき、$D = 12(0) + 4(-1) - 4(0)^2 = -4 < 0$。

したがって、$(0, -1)$ は鞍点である。

(ii) $(1, -\frac{3}{2})$ のとき、$D = 12(1) + 4(-\frac{3}{2}) - 4(1)^2 = 12 - 6 - 4 = 2 > 0$。

$f_{xx} = 6(1) + 2(-\frac{3}{2}) = 6 - 3 = 3 > 0$。

したがって、$(1, -\frac{3}{2})$ は極小値である。

極小値は $f(1, -\frac{3}{2}) = 1^3 + 1^2(-\frac{3}{2}) + (-\frac{3}{2})^2 + 2(-\frac{3}{2}) = 1 - \frac{3}{2} + \frac{9}{4} - 3 = \frac{4-6+9-12}{4} = -\frac{5}{4}$。

(iii) $(2, -3)$ のとき、$D = 12(2) + 4(-3) - 4(2)^2 = 24 - 12 - 16 = -4 < 0$。

したがって、$(2, -3)$ は鞍点である。

3. 最終的な答え

極小値：$(x,y) = (1, -\frac{3}{2})$ で $f(1, -\frac{3}{2}) = -\frac{5}{4}$

鞍点：$(0, -1)$, $(2, -3)$